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【例1】            已知數列{a_n}、{b_n}都是等差數列，a₁=0、b₁= -4，用S_k、分別表示數列{a_n}、{b_n}的前k項和（k是正整數），若S_k+=0，則a_k+b_k的值為             

【例2】  若－=1，則sin2θ的值等于                      。

【例3】  若關于x的方程=k(x-2)有兩個不等實根，則實數k的取值范圍是      

我們只須把題中的參變量用特殊值（或特殊函數、特殊角、

特殊數列、圖形特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到結論。

1.特殊值法

【例4】  設a>b>1，則log_ab,log_ba,log_abb的大小關系是                           。

2．特殊函數法

【例5】  如果函數f(x)=x²+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1)，f(2)，f(4)的大小關系是                        。

3．特殊角法

【例6】  cos²α+cos²(α+120°)+cos²(α+240°)的值為                                。

4．特殊數列法

【例7】已知等差數列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比數列，則的值是                   。

5．特殊點法

【例8】  橢圓+=1的焦點為F₁、F₂，點P為其上的動點，當∠F₁PF₂為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是                      。

7．特殊模型法

【例9】  已知m,n是直線，α、β、γ是平面，給出下列是命題：

①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；②若n⊥α，n⊥β，則α∥β；

③若α內不共線的三點到β的距離都相等，則α∥β；

④若nα，mα且n∥β,m∥β，則α∥β；

⑤若m,n為異面直線，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,則α∥β；

則其中正確的命題是                         。（把你認為正確的命題序號都填上）。

練習

1．函數f（x）＝|x²－a| 在區間［－1，1］上的最大值M（a）的最小值是        

2．如圖，非零向量與軸正半軸的夾角分

別為 和，且，則

與軸正半軸的夾角的取值范圍是      

3．已知函數的定義域是，值域是，則滿足條件的整數對共有_________________個

4．三角形ABC中AP為BC邊上的中線，，，則＝    

5．如圖1，設P、Q為△ABC內的兩點，且，＝＋，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為       

圖1                          圖2

6．已知f （x）＝x＋1，g （x）＝2x＋1，數列{a_n}滿足：a₁＝1，a_n＋1＝則數列{a_n}的前2007項的和為           

7．在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面為直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC₁＝，P是BC₁上一動點，則CP＋PA₁的最小值是___________．

8．已知函數f（x）、g（x）滿足x∈R時，f′（x）>g′（x），

則x₁<x₂時，則f（x₁）－f（x₂）___ g（x₁）－g（x₂）．（填>、<、＝）

9．△ABC內接于以O為圓心的圓，且．

則 ＝        ．

10．若關于x的方程有不同的四解，則a的取值范圍為          ．

11．已知為正整數，方程的兩實根為，且，則的最小值為________________．

12．如圖，在中，，，l為BC

的垂直平分線，E為l上異于D的一點，則等于____．

13．O為坐標原點，正△OAB中A、B在拋物線上，正△OCD中C、D在拋物線上，則△ OAB與△OCD的面積之比為          ．

14．已知二次函數f（x）＝x²－2x＋6，設向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，），c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．當x∈[0，π]時，不等式f（a?b）>f（c?d）的解集為___________．

第二部分    解答題

例1．已知函數為實常數．

（1）a在什么范圍內時，只有一個公共點？

（2）若上有最小值2，求a的值．

例2．橢圓的兩焦點為，（為坐標原點），P為橢圓上一點， 的斜率分別為和．

（1）求證：；

（2）若△的面積為3，求橢圓方程．

例3、設函數f (x)是定義在[-1,0)∪(0,1]上的奇函數，當x∈，（a為實數）（1）求當x∈時f (x)的解析式；（2）若f (x)在區間上為增函數，求a的取值范圍；（3）求在上f (x)的最大值。

例4. 已知b>-1,c>0，函數f (x)=x+b的圖象與函數g (x)=x²+bx+c的圖象相切。（1）設b=h(c)，求h(c)；（2）設 (x>-b)在上是增函數，求c的最小值；（3）是否存在常數c，使得函數H(x)= f (x) g (x)在內有極值點？若存在，求出c的取值范圍，若不存在，說明理由。

例5．某地區1986年以來人口總數和居民住宅總面積分別按等比數列和等差數列逐年遞增．已知1986年底人均住房面積為10，2006年底人均住房面積為20．據此計算：

（1）1996年底人均住房面積超過14，試給出證明；

（2）若人口年平均增長率不超過3?，能否確保2008年底人均住房面積比2006年底有所增加？為什么？

例6．已知在R上單調遞增，記的三內角的對應邊分別為，若成等差數列時，不等式恒成立．

（1）求實數的取值范圍；（2）求角B的取值范圍；（3）求實數的取值范圍．

例7．已知，，數列滿足，

， ．

（1）求證：數列是等比數列；

（2）當n取何值時，取最大值，并求出最大值；

（3）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

例8．在△ABC中，已知A（0，1），B（0，－1），AC、BC兩邊所在的直線分別與x軸交于E、F兩點，且＝4．

（1）求點C的軌跡方程；

（2）若，

①試確定點F的坐標；

②設P是點C的軌跡上的動點，猜想△PBF的周長最大時點P的位置，并證明你的猜想．

例9．第一行是等差數列0，1，2，3，…，2008，將其相鄰兩項的和依次寫下作為第二行，第二行相鄰兩項的和依次寫下作為第三行，依此類推，共寫出2009行．

（1）求證：第1行至第2008行各行都構成等差數列．（定義只有兩項的數列也稱等差數列）；

（2）各行的公差組成數列．求通項公式；

（3）各行的第一個數組成數列，求通項公式；

（4）求2009行的這個數．

例10．已知集合．

（1）求；

（2）若以為首項，為公比的等比數列前項和記為，對于任意的，均有，求的取值范圍．

例11．設軸、軸正方向上的單位向量分別是、，坐標平面上點、分別滿足下列兩個條件：

①且＝＋；②且＝．

（1）求及的坐標；

（2）若四邊形的面積是，求的表達式；

（3）對于（2）中的，是否存在最小的自然數M，對一切都有＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由．

例12．函數的定義域為，設．

（1）求證： ；

（2）確定t的范圍使函數在上是單調函數；

（3）求證：對于任意的，總存在，滿足；并確定這樣的的個數．

例13 已知二次函數f (x)=ax²+bx+c (a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f (c)=0，且0<x<c時，f (x)>0（1）試比較與c的大�。唬�2）證明：-2<b<-1；（3）當c>1,t>0時，求證：

1．  設數列{a_n}、{b_n}分別為正項等比數列，S_n、T_n分別為{lga_n}與{lgb_n}的前n項的和，且，則=        。

2．  已知函數的圖象與直線y=-1的交點中距離最近的兩點間的距離為，則函數的最小正周期為__________

3．  已知，則代數式的值在哪兩個相鄰的整數之間？

4．  已知=，=且//，，θ∈(0,)。（1）求k與θ的關系式k=f(θ)；（2）求k=f(θ)的最小值。

5．  如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，

∠ADC=90⁰ ，AD//BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G為△PAC的重心，E為PB的中點，F在棱BC上且CF=2FB。

（1）       求證：FG//平面PAB；

（2）       求證：FG⊥AC

（3）       當∠PDA多大時，FG⊥平面AEC。

6．  已知 函數F(x)= -x³+ax²+b (a,b∈R)。（1）若設函數y=F(x)的圖象上任意兩個不同的點的連線的斜率小于1，求證：|a|<；（2）若x∈[0,1]，設函數y=F(x)的圖象上任意一點處的切線的斜率為k，試討論|k|≤1成立的充要條件。

【例2】            已知數列{a_n}、{b_n}都是等差數列，a₁=0、b₁= -4，用S_k、分別表示數列{a_n}、{b_n}的前k項和（k是正整數），若S_k+=0，則a_k+b_k的值為             

【例2】  若－=1，則sin2θ的值等于                      。

【解】  由-=1得sinθ-cosθ=sinθcosθ   ①

令sin2θ=t，則①式兩邊平方整理得t²+4t-4=0，解之得t=2-2。

【例3】  若關于x的方程=k(x-2)有兩個不等實根，則實數k的取值范圍是      

【解】  令y₁=,y₂=k(x-2),由圖可知k_AB<k≤0，

其中AB為半圓的切線，計算k_AB= -,∴-<k≤0。

我們只須把題中的參變量用特殊值（或特殊函數、特殊角、

特殊數列、圖形特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到結論。

1.特殊值法

【例4】  設a>b>1，則log_ab,log_ba,log_abb的大小關系是                           。

【解】  考慮到三個數的大小關系是確定的，不妨令a=4,b=2，則log_ab=,log_ba=2,log_abb=,

∴log_abb<log_ab<log_ba

2．特殊函數法

【例5】  如果函數f(x)=x²+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1)，f(2)，f(4)的大小關系是                        。

【解】  由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的對稱軸是x=2�？扇√厥夂瘮礷(x)=(x-2)²,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。

3．特殊角法

【例6】  cos²α+cos²(α+120°)+cos²(α+240°)的值為                                。

【解】  本題的隱含條件是式子的值為定值，即與α無關，故可令α=0°，計算得上式值為。

4．特殊數列法

【例7】已知等差數列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比數列，則的值是                   。

【解】  考慮到a₁,a₃,a₉的下標成等比數列，故可令a_n=n滿足題設條件，于是=。

5．特殊點法

【例8】  橢圓+=1的焦點為F₁、F₂，點P為其上的動點，當∠F₁PF₂為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是                      。

【解】  設P(x,y)，則當∠F₁PF₂=90°時，點P的軌跡方程為x²+y²=5，由此可得點P的橫坐標x=±，又當點P在x軸上時，∠F₁PF₂=0；點P在y軸上時，∠F₁PF₂為鈍角，由此可得點P橫坐標的取值范圍是-<x<。

7．特殊模型法

【例9】  已知m,n是直線，α、β、γ是平面，給出下列是命題：

①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；②若n⊥α，n⊥β，則α∥β；

③若α內不共線的三點到β的距離都相等，則α∥β；

④若nα，mα且n∥β,m∥β，則α∥β；

⑤若m,n為異面直線，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,則α∥β；

則其中正確的命題是                         。（把你認為正確的命題序號都填上）。

【解】  依題意可構造正方體AC₁，如圖1，在正方體中逐一判斷各命題易得正確命題的是②⑤。

圖1                                 圖2

練習

1．函數f（x）＝|x²－a| 在區間［－1，1］上的最大值M（a）的最小值是        

【解析】f（x）是偶函數，所以M（a）是在［0，1］內的最大值，當a≤0時，f（x）＝x²－a，則M（a）＝1－a；當a>0時，由圖像可知，若，則M（a）＝a，若，則M（a）＝f（1）＝1－a，

從而M（a）＝ ，    M（a）_min＝．

2．如圖，非零向量與軸正半軸的夾角分

別為 和，且，則

與軸正半軸的夾角的取值范圍是      

【解析】與軸正半軸的夾角的取值范圍應在向量

  與軸正半軸的夾角之間，故與軸正半軸的夾角的取值范圍是．

3．已知函數的定義域是，值域是，則滿足條件的整數對共有_________________個

【解析】在R上是偶函數，故的圖象關于y軸對稱，作出的圖象，截取值域是 的一段，發現a，b的取值只可能在－2，－1，0，1，2中取得，但必須取0，－2?2必須至少取一個，故有5個．

4．三角形ABC中AP為BC邊上的中線，，，則＝    

【解析】，即，，

，故選C．

5．如圖1，設P、Q為△ABC內的兩點，且，＝＋，則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為       

圖1                          圖2

【解析】如圖2，設，，則．由平行四邊形法則，知NP∥AB，所以＝，同理可得．故，

6．已知f （x）＝x＋1，g （x）＝2x＋1，數列{a_n}滿足：a₁＝1，a_n＋1＝則數列{a_n}的前2007項的和為           

【解析】∵a_2n＋2＝a_2n＋1＋1＝（2a_2n＋1）＋1＝2a_2n＋2，∴a_2n＋2＋2＝＝2（a_2n＋2），

∴數列{a_2n＋2}是以2為公比、以a₂＝a₁＋1＝2為首項的等比數列．

∴a_2n＋2＝2×2 ^n－1，∴a_2n＝2 ⁿ－2．

又a_2n＋a_2n＋1＝ a_2n＋2a_2n＋1＝3a_2n＋1，∴數列{a_n}的前2007項的和為

a₁＋（ a₂＋ a₃）＋ （ a₄＋ a₅）＋ （ a₆＋ a₇）＋ …＋ （ a₂₀₀₆＋ a₂₀₀₇）

＝ a₁＋（3a₂＋1）＋ （3a₄＋1）＋ （3a₆＋1）＋ …＋ （3a₂₀₀₆＋1）

＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×2²－5）＋ （3×2³－5）＋ …＋ （3×2¹⁰⁰³－5）

＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×2²－5）＋ （3×2³－5）＋ …＋ （3×2¹⁰⁰³－5）

＝ 3×（2＋2²＋2³＋…＋2¹⁰⁰³＋1－5×1003

＝6×（2¹⁰⁰³－1）＋1－5×1003＝6×2¹⁰⁰³－ 5020 ，故選D．

7．在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面為直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC₁＝，P是BC₁上一動點，則CP＋PA₁的最小值是___________．

【解析】答案：5 ．連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個平面內，連A₁C，則A₁C的長度就是所求的最小值．通過計算可得ÐA₁C₁C＝90°．

又ÐBC₁C＝45°，\ÐA₁C₁C＝135° 由余弦定理，可求得A₁C＝5．

8．已知函數f（x）、g（x）滿足x∈R時，f′（x）>g′（x），

則x₁<x₂時，則f（x₁）－f（x₂）___ g（x₁）－g（x₂）．（填>、<、＝）

【解析】記，則．

由已知，，所以在R上單調遞增，

所以x₁<x₂時，，即f（x₁）－f（x₂） < g（x₁）－g（x₂）．

9．△ABC內接于以O為圓心的圓，且．

則 ＝        ．

【解析】通過畫圖，可求，即與的夾角，再通過圓心角與圓周角的關系，求得，答案：．

10．若關于x的方程有不同的四解，則a的取值范圍為          ．

【解析】x＝0是方程的一個根，其余根即方程（x＞0）的根．

由f（x）＝（x＞0）與y＝1的交點個數，可知a＞0．

且f（）＞1，得a＞2．

11．已知為正整數，方程的兩實根為，且，則的最小值為________________．

【解析】提示：依題意，可知 從而可知，所以有

 又為正整數，取，則

，所以．從而，所以．

又，所以，因此有最小值為．

下面可證時，，從而，所以．

又，所以，所以．

綜上可得，的最小值為11．

12．如圖，在中，，，l為BC

的垂直平分線，E為l上異于D的一點，則等于____．

【解析】，又，

．

13．O為坐標原點，正△OAB中A、B在拋物線上，正△OCD中C、D在拋物線上，則△ OAB與△OCD的面積之比為          ．

【解析】設△OAB的邊長為，則不妨設，代入，得；同理，設△OCD的邊長為，可得．，．

14．已知二次函數f（x）＝x²－2x＋6，設向量a＝（sinx，2），b＝（2sinx，），c＝（cos2x，1），d＝（1，2）．當x∈[0，π]時，不等式f（a?b）>f（c?d）的解集為___________．

【解析】a?b＝2sin²x＋1≥1， c?d＝cos²x＋1≥1 ，f（x）圖象關于x＝1對稱，

∴f（x）在（1，＋∞）內單調遞增．

由f（a?b）>f（c?d）a?b>c?d，即2sin²x＋1>2cos²x＋1，

又∵x∈[0，π] ，∴x∈（）．故不等式的解集為（）．

第二部分    解答題

例1．已知函數為實常數．

（1）a在什么范圍內時，只有一個公共點？

（2）若上有最小值2，求a的值．

【解析】（1）．

①當時，，所以在R上單調增，此時只有一個公共點；

②當時， ．由，得．

在上列表：

＋

0

­­­─

0

＋

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

因為只有一個公共點，所以或．

所以，得．

綜上，，只有一個公共點．

（2）．

由，可知為偶函數，則原題即為在上有最小值2．

設（），則．

①時，，所以在上單調增，所以．

因為在上有最小值2，所以，所以．

②時，，無最小值，不合題意．

③時，，．

（I）時，，所以在上單調減，所以，

此時在上的最小值為，不合．

（II）時，由，得．

在上列表：

2

─

0

­­＋

ㄋ

極小值

ㄊ

∴．

綜上，的值為．

例2．橢圓的兩焦點為，（為坐標原點），P為橢圓上一點， 的斜率分別為和．

（1）求證：；

（2）若△的面積為3，求橢圓方程．

【解析】解法一   （1） 依題意，

令，則．

∴．∴，所以．

（2）在Rt△中，，

所以．

所以橢圓方程為．

解法二  （1）令，由題意，得

，     ①            ．       ②

由①、②，可知 ．

∴，∴．

例3、設函數f (x)是定義在[-1,0)∪(0,1]上的奇函數，當x∈，（a為實數）（1）求當x∈時f (x)的解析式；（2）若f (x)在區間上為增函數，求a的取值范圍；（3）求在上f (x)的最大值。

解：（1）設x∈，則-x∈，又f (x)為奇函數，則f (x)= - f (-x)=

∴當x∈時f (x)=

（2）由于f (x)在上為增函數，則f ^/ (x)=

顯然，上式對任意的x∈恒成立，即對任意的x∈恒成立，

可得：a>-1

(3)當a>-1時，由于f (x)在x∈上為增函數，則f (x)_max= f (1)=2a-1

當a<-1時由f ^/ (x)=0得：x=（此時∈），

且知當x∈(0,)時, f ^/ (x)>0, 當x∈(,1), f ^/ (x)<0

∴f (x)_max= f ()=

例4. 已知b>-1,c>0，函數f (x)=x+b的圖象與函數g (x)=x²+bx+c的圖象相切。（1）設b=h(c)，求h(c)；（2）設 (x>-b)在上是增函數，求c的最小值；（3）是否存在常數c，使得函數H(x)= f (x) g (x)在內有極值點？若存在，求出c的取值范圍，若不存在，說明理由。

思路點擊：本題材不論從函數類型，還是從涉及的函數內容角度欣賞都非常象高考題，尤其是第（3）題中的探索型問題使題目更顯時尚和有檔次，不過越是華麗的題目，解法往往越平易近人。

解：（1）依題設令f ^/ (x)= g ^/ (x)，即2x+b=1, ∴x=為切點橫坐標。

∴f ()= g ()，故(b+1)²=4c,即b= h(c)=

（2）∵=，∴D ^/ (x)=

由于D (x)在上是增函數，

∴D ^/ (x)=()()≥0在上恒成立。又x>-b ,c>0

∴≥0在上恒成立，即

而由（1）得，+，∴

∵函數t=1-x在上的最大值為2，∴，即c≥4

∴c的最小值為4。

（3）由H(x)= f (x) g (x)=x³+2bx²+(b²+c)x+bc得H ^/(x)= 3x²+4bx+b²+c

令H ^/(x)=0得：△=4(b²-3c)=(c-4+1)>0，即c-4+1>0

解得：<2-,或>2+,又∵c>0 ∴0<c<7-4或c>7+4

∴存在常數c∈(0,7-4)∪(7+4,+∞)，使H(x)在內有極值點。

點評：導數的加盟，大大拓展了命制函數類探索題的空間，從兩個樣題來看，函數類的探索題的解決離不開函數的主體知識，因此夯實函數“三基”就可以以不變應萬變。

例5．某地區1986年以來人口總數和居民住宅總面積分別按等比數列和等差數列逐年遞增．已知1986年底人均住房面積為10，2006年底人均住房面積為20．據此計算：

（1）1996年底人均住房面積超過14，試給出證明；

（2）若人口年平均增長率不超過3?，能否確保2008年底人均住房面積比2006年底有所增加？為什么？

【解析】（1）設86年底人口總數為a，住宅總面積10a，年人口增長的公比為（即后一年是前一年人口的倍），年住宅總面積的公差為，則2006年底人均住房面積為，則，故1996年底人均住房面積．

（2）2008年底人均住房面積，

2008年與2006年底人均住房面積之差．

∵，∴只需考慮分子．

∵，∴單調遞減．

又，

∴．

∴．

此即表明，2008年底人均住房面積仍超過2006年底人均住房面積．

例6．已知在R上單調遞增，記的三內角的對應邊分別為，若成等差數列時，不等式恒成立．

（1）求實數的取值范圍；（2）求角B的取值范圍；（3）求實數的取值范圍．

(1)由知，在R上單調遞增，恒成立，且，即且，； 當，即時，，時，時，，即當時，能使在R上單調遞增，∴．

(2)成等差數列，∴，由余弦定理：cosB==

=，∴，

(3) 在R上單調遞增，且，

所以，即

而，

故，即，，即，即．

例7．已知，，數列滿足，

， ．

（1）求證：數列是等比數列；

（2）當n取何值時，取最大值，并求出最大值；

（3）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

【解析】（1）∵，，，

∴，即．

    又，可知對任何，，所以．

    ∵，∴是以為首項，公比為的等比數列．

    （2）由（I），可知＝（）．

    ∴，．

    當n＝7時，，；當n<7時，，；當n>7時，，．

∴當n＝7或n＝8時，取最大值，最大值為．

（3）由，得．       （*）

依題意，（*）式對任意恒成立，

  ①當t＝0時，（*）式顯然不成立，因此t＝0不合題意．

　�、诋攖<0時，由，可知（）．

　　　而當m是偶數時，因此t<0不合題意．

　�、郛攖>0時，由（），

∴，∴（）．

　　設（），

∵ ＝，

　　∴．

　　∴的最大值為．所以實數的取值范圍是．

例8．在△ABC中，已知A（0，1），B（0，－1），AC、BC兩邊所在的直線分別與x軸交于E、F兩點，且＝4．

（1）求點C的軌跡方程；

（2）若，

①試確定點F的坐標；

②設P是點C的軌跡上的動點，猜想△PBF的周長最大時點P的位置，并證明你的猜想．

【解析】（1）如圖，設點C（x，y）（x≠0），E（x_E，0），F（x_F，0），由A，C，F三點共線，，x_E＝．同理，由B、C、F三點共線可得x_F＝．

化簡，得點C的軌跡方程為x²＋4y²－4（x≠0）．

∵＝4，∴x_E?x_F＝＝4．

（2）若，

①設F（x_F，0），C（x_C，y_C），

∴（x_c，y_c＋1）＝－8（x_F－x_c，y_c）．

∴x_c＝，y_C＝．

代入x²＋4y²＝4， 得x_F＝±．∴F（±，0），即F為橢圓的焦點．

②猜想：取F（，0），設F₁（－，0）是左焦點，則當P點位于直線BF₁與橢圓的交點處時，△PBF周長最大，最大值為8．

證明如下：|PF|＋|PB|＝4－|PF₁|＋|PB|≤4＋|BF₁|，

∴△PBF的周長≤4＋|BF₁|＋|BF|≤8．

例9．第一行是等差數列0，1，2，3，…，2008，將其相鄰兩項的和依次寫下作為第二行，第二行相鄰兩項的和依次寫下作為第三行，依此類推，共寫出2009行．

（1）求證：第1行至第2008行各行都構成等差數列．（定義只有兩項的數列也稱等差數列）；

（2）各行的公差組成數列．求通項公式；

（3）各行的第一個數組成數列，求通項公式；

（4）求2009行的這個數．

【解析】（1）記表示第行第列的項．由已知知第1行是等差數列；

，

所以第2行數列是等差數列．

，

所以第3行數列是等差數列．

同理可證，第4，5，…，都是等差數列．

（2），

，則是等差數列，．

（3），．

∴數列是等差數列，，所以．

（4）．

例10．已知集合．

（1）求；

（2）若以為首項，為公比的等比數列前項和記為，對于任意的，均有，求的取值范圍．

【解析】（1）由得

當時，．當時， ，當時，．

綜上，時，；時，；當時， ．

（2）當時，．而，故時，不存在滿足條件的；

當時，，而是關于的增函數，所以隨的增大而增大，當且無限接近時，對任意的，，只須滿足

 解得．

 當時，．

顯然，故不存在實數滿足條件．

     當時，．，適合．

當時，．

，

，

，且

故．

故只需 即 解得．

綜上所述，的取值范圍是．

例11．設軸、軸正方向上的單位向量分別是、，坐標平面上點、分別滿足下列兩個條件：

①且＝＋；②且＝．

（1）求及的坐標；

（2）若四邊形的面積是，求的表達式；

（3）對于（2）中的，是否存在最小的自然數M，對一切都有＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由．

【解析】（1）．

．

（2）

．

（3）

．

∴ ，，．，

 ，，等等．

即在數列中，是數列的最大項，所以存在最小的自然數，對一切，都有＜M成立．

例12．函數的定義域為，設．

（1）求證： ；

（2）確定t的范圍使函數在上是單調函數；

（3）求證：對于任意的，總存在，滿足；并確定這樣的的個數．

【解析】（1）設，則，所以．

（2），令，得．

當時，時，，是遞增函數；

當時，顯然在也是遞增函數．

∵是的一個極值點，∴當時，函數在上不是單調函數．

∴當時，函數在上是單調函數．

（3）由（1），知，∴．

又∵， 我們只要證明方程在內有解即可．

記，

則，，

，

∴．

①當時，，

方程在內有且只有一解；

②當時，，，

又，∴方程在內分別各有一解，方程在內兩解；

③當時，方程在內有且只有一解；

④當時，方程在內有且只有一解．

綜上，對于任意的，總存在，滿足．

當時，滿足，的有且只有一個；

當時，滿足，的恰有兩個．

例13 已知二次函數f (x)=ax²+bx+c (a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f (c)=0，且0<x<c時，f (x)>0（1）試比較與c的大��；（2）證明：-2<b<-1；（3）當c>1,t>0時，求證：

解：（1）∵函數f (x)的圖象與x軸有兩個不同的交點∴方程f (x)=0有兩個不同的根

∵f (c)=0，∴c是方程f (x)=0的一個根

設方程的另一個根為x₀，則cx₀=,得x₀=

若<c,則由0<x<c時，f (x)>0得f ()>0與f ()=0矛盾。又方程f (x)=0有兩個不同的實根，∴≠c，∴>c

(2) f (c)=0<==>ac+b+1=0  ∴b=-1-ac<-1

∵>c  ∴c<<==>b>-2  ∴-2<b<-1

(3) ∵０＜１＜ｃ∴f (１)>0即：a+b+c>0==>b>-a-c

∴

>

∵>c,c>1  ∴a<<1==>a<c  ∴

∴

8．  設數列{a_n}、{b_n}分別為正項等比數列，S_n、T_n分別為{lga_n}與{lgb_n}的前n項的和，且，則=        。

9．  已知函數的圖象與直線y=-1的交點中距離最近的兩點間的距離為，則函數的最小正周期為（ C ）

A．   B．   C．   D．   

10．已知，則代數式的值在哪兩個相鄰的整數之間？

解：由得：，∴

∴==

具體計算，易證數列{x_n}是遞增的

∴ 0<<1，∴代數式的值在2和3之間。

11．已知=，=且//，，θ∈(0,)。（1）求k與θ的關系式k=f(θ)；（2）求k=f(θ)的最小值。(≥)

12．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，

∠ADC=90⁰ ，AD//BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G為△PAC的重心，E為PB的中點，F在棱BC上且CF=2FB。

（4）       求證：FG//平面PAB；

（5）       求證：FG⊥AC

（6）       當∠PDA多大時，FG⊥平面AEC。

13．已知 函數F(x)= -x³+ax²+b (a,b∈R)。（1）若設函數y=F(x)的圖象上任意兩個不同的點的連線的斜率小于1，求證：|a|<；（2）若x∈[0,1]，設函數y=F(x)的圖象上任意一點處的切線的斜率為k，試討論|k|≤1成立的充要條件。

解：（1）函數y=F(x)的圖象上任意兩個不同的點為P₁、P₂且x₁≠x₂，則<1,即：

<==>

<==>,∵x₁是任意實數，∴ △₁=

即： ∵x₂是任意實數，∴ △₂=4a²+12(a²-4)<0  ∴|a|<

（2）當x∈[0,1]時，k=F ^/(x)=-3x²+2ax，則題意得：-1≤-3x²+2ax≤1當x∈[0,1]都成立。

若x=0,則a∈R；若x≠0，則，

 ∵在上，是增函數，∴

，當x=時取等號，∴2≤2a≤2即：1≤a≤

∴使|k|≤1成立的充要條件是1≤a≤。

另解（2）|k|≤1成立的充要條件是F ^/(x)=-3x²+2ax (0≤x≤1)的最大值M≤2，最小值m≥-1

∵F ^/(x)=-3x²+2ax= ，F ^/(0)=0

∴或或解得：1≤a≤

14．已知函數f (x)=，其中a是大于零的常數，（1）求函數f (x)的定義域；（2）當a∈(1,4)時，求函數f (x)在上的最小值；（3）若對任意x∈，恒有f (x)>0，試確定a的取值范圍。

解：（1）由得得(*) 方程x²-2x+a=0的判別式△=4(1-a)

∴當a>1時，△<0 ，x²-2x+a>0恒成立，∴由(*)得：函數的定義域為(0,+∞)

  當0<a≤1時，△≥0, 方程x²-2x+a=0有兩個根：x₁=1-, x₂=1+

∴由(*)得：函數的定義域為：(0, 1-)∪( 1+,+ ∞)

（2）當a∈(1,4)時，令g(x)= ,易證g(x)在(0,上遞減，在上遞增。

∵a∈(1,4), ∴<2，∴g(x)在上遞增，∴f (x)在上遞增

∴函數f (x)在上的最小值為f (2)= ；

（3）①若0<a≤1時，則x=2時，f (2)=<0，不滿足條件；

②若1<a<4時，由（2）得f (x)在上的最小值，只要>0, ∴2<a<4；

③若a≥4時，得f (x)在上的最小值，此時>0恒成立。

綜上所述，對任意x∈，恒有f (x)>0成立的a的取值范圍為(2,+∞)。

 （3）又解：∵f (x)= ＞0，∴ ∴a>3x-x²在上恒成立，

  ∵y=3x-x²在上是減函數，∴y_max= f (2)=2，∴a>2

8．設a,b,c是一個三角形的三條邊的長，且a+b+c=1。

（1）證明：a,b,c均小于；（2）若a≥b≥c，對于整數n≥2，證明：bⁿ+cⁿ<(b+)ⁿ

（3）證明：對于整數n≥2,

證明：（1）不妨設a≥b≥c，那么b+c>a，而a+b+c=1, ∴a+b+c>2a，∴a<

∴a,b,c均小于

（2）(b+)ⁿ=

   ≥=

∵n≥2，∴，∴bⁿ+cⁿ<(b+)ⁿ

（3）不妨設a≥b≥c，則由（2）知：bⁿ+cⁿ<(b+)ⁿ ，aⁿ+cⁿ<(a+)ⁿ

∴

又由（1）知a<，b<，則

∴1<