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如圖，在中，為邊上的中線，為上任意一點，交于點.求證：．

【解析】本試題主要是考查了平面幾何中相似三角形性質的運用。根據已知條件，首先做輔助線，然后利用平行性得到相似比，，，然后得到比例相等。充分利用比值問題轉化得到結論。

證明：過作，交于，∴，，

∴， ，   ∵為的中點，，

，，，即．

已知函數，設函數

（Ⅰ）求證：是奇函數；

（Ⅱ）（1） 求證：；

（1） 結合（1）的結論求的值；

（Ⅲ）仿上，設是上的奇函數，請你寫出一個函數的解析式，并根據第（Ⅱ）問的結論，猜想函數滿足的一般性結論.

【解析】本試題主要是考查了函數的奇偶性和函數的求值的運算，以及解析式的求解的綜合運用。

已知函數

（Ⅰ）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x²，是否存在實數a，當x∈（0，e](e是自然常數)時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）當x∈（0，e]時，證明：

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。第一問中利用函數f（x）在[1，2]上是減函數，的導函數恒小于等于零，然后分離參數求解得到a的取值范圍。第二問中，

假設存在實數a，使有最小值3，利用，對a分類討論，進行求解得到a的值。

第三問中，

因為，這樣利用單調性證明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) 

（Ⅲ）見解析

在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓上．

(1)求圓的方程；

 (2)若圓與直線交于、兩點，且，求的值．

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關系的運用。

（1）曲線與軸的交點為(0,1)，

與軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0) 故可設的圓心為(3，t)，則有3²＋(t－1)²＝(2)²＋t²，解得t＝1.

（2）因為圓與直線交于、兩點，且。聯立方程組得到結論。

設F（1，0），點M在x軸上，點P在y軸上，且

（1）當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程；

（2）設是曲線C上的點，且成等差數列，當AD的垂直平分線與x軸交于點E（3，0）時，求點B的坐標。

【解析】本試題主要是對于圓錐曲線的綜合考查。首先求解軌跡方程，利用向量作為工具表示向量的坐標，進而達到關系式的求解。第二問中利用數列的知識和直線方程求解點的坐標。