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求證：定義在實數集上的單調減函數y=f（x）的圖象與x軸至多只有一個公共點．

（2013•山東）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點分別是F₁，F₂，離心率為

3

2

，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF₁，PF₂，設∠F₁PF₂的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，若k≠0，試證明

1

kk1

+

1

kk2

為定值，并求出這個定值．

給出下列五個命題：
①已知直線a，b和平面α，若a∥b，b∥α，則a∥α；
②平面上到一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡是一條拋物線；
③雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則直線y=

b

a

x+m（m∈R）與雙曲線有且只有一個公共點；
④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直；
⑤過M（2，0）的直線l與橢圓

x2

2

+y²=1交于P₁P₂兩點，線段P₁P₂中點為P，設直線l斜率為k1（k≠0），直線OP的斜率為k₂，則k₁k₂等于-

1

2

．
其中，正確命題的序號為．

已知點A（-1，2），B（0，1），動點P滿足|PA|=

2

|PB|．
（Ⅰ）若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；
（Ⅱ）若點Q在直線l₁：3x-4y+12=0上，直線l₂經過點Q且與曲線C有且只有一個公共點M，求|QM|的最小值．

已知函數m（x）=log₂（4^x+1），n（x）=kx（k∈R）．
（1）當x＞0時，F（x）=m（x）．若F（x）為R上的奇函數，求x＜0時F（x）的表達式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）是偶函數，求k的值；
（3）對（2）中的函數f（x），設函數g（x）=log₂（a?2^x-

4

3

a），其中a＞0．若函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求a的取值范圍．