北京市2009年4月高三一模分類匯編 立體幾何
一、選擇題:
（4）(2009年4月北京海淀區高三一模文)已知
是直線，
、
是兩個不同平面，下列命題中真命題是（ C ）
（A）若
，
，則
（B）若
，，則
（C）若
，，則
（D）若，
，則
４．(北京市石景山區2009年4月高三一模理)對于兩條直線
和平面，若
，則“
”是“
”的(D)
A．充分但不必要條件
B．必要但不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(5) (北京市朝陽區2009年4月高三一模理)用一平面去截體積為
的球，所得截面的面積為
，則球心到截面的距離為（ C ）
A. 
B.
C.
D.
5. (北京市西城區2009年4月高三一模抽樣測試文理)已知直線a 和平面
，那么
的一個充分條件是（ C ）
A. 存在一條直線b，
B. 存在一條直線b，
C. 存在一個平面
D. 存在一個平面
5. (北京市崇文區2009年3月高三統一考試理) 已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個不重合的平面，則α//β的一個充分條件是 ( D )
A.m
α，mβ
B.α⊥γ，β⊥γ
C.m⊂α,n⊂β， m∥n D. m、n是異面直線，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α
5．(北京市崇文區2009年3月高三統一考試文)下列命題中，正確的命題是 ( B )
A．過空間任一點P均存在著與平面平行的直線
B．過空間任一點P均存在著與平面垂直的直線
C．過空間任一點P均存在著與平面平行的無數多條直線
D．過空間任一點P均存在著與平面垂直的無數多條直線
5．(北京市東城區2009年3月高中示范校高三質量檢測文理)兩個平面 與相交但不垂直，直線
在平面內，則在平面內 （ C ）
A．一定存在與直線平行的直線
B．一定不存在與直線平行的直線
C．一定存在與直線垂直的直線
D．不一定存在與直線垂直的直線
3. (北京市豐臺區2009年3月高三統一檢測理)已知直線
平面α ，直線
平面α ，“直線c⊥，直線c⊥”是“直線c⊥平面α”的
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
二、填空題:
（12）(2009年4月北京海淀區高三一模文)已知四面體
―
中，
，且
，
，則異面直線
與
所成的角為
. 
12．(北京市石景山區2009年4月高三一模理)設地球半徑為
，在北緯
圈上有甲、乙兩地，它們的經度差為
，則甲、乙兩地間的最短緯線之長為 ，甲、乙兩地的球面距離為 ．
答案:
,
13. (北京市西城區2009年4月高三一模抽樣測試文)已知一個正方體的八個頂點都在同一個球面上. 設此正方體的表面積為
，球的表面積
，則
=_____________.
11. (北京市崇文區2009年3月高三統一考試理)如圖，等腰梯形ABCD中， E,F分別是BC 上三等分點，AD=AE=1,BC=3,
,若把三角形ABE和DCF分別沿AE和DF折起，使得B、C兩點重合于一點P，則二面角P-AD-E的大小為
． 
12. (北京市崇文區2009年3月高三統一考試文)如圖，等腰梯形ABCD中， E,F分別是BC邊上的三等分點，AD=AE=1,BC=3,
,若把三角形ABE和DCF分別沿AE和DF折起，使得B、C兩點重合于一點P，則二面角P-EF-D的大小為 ． 
11. (北京市豐臺區2009年3月高三統一檢測理)在長方體
中，
，若點
到
這四點的距離相等，則
＝
。
12. (北京市豐臺區2009年3月高三統一檢測文) 在長方體中，
，則長方體的對角線長為 。
三、解答題：
（16）(2009年4月北京海淀區高三一模文)（本小題共14分）如圖，四棱錐
中， 
平面
，底面為直角梯形，且
，
，
，
.
（I）求證：
；
（II）求
與平面
所成的角的正弦值；
（III）求點到平面
的距離.
16解：方法1
（I）證明：在直角梯形中，
，，
，且
.
………………………1分
取
的中點
，連結
，
由題意可知，四邊形
為正方形，所以
，
又
，所以
，
則
為等腰直角三角形，
所以
，
………………………2分
又因為平面，且 
為
在平面內的射影， 
平面，由三垂線定理得，
………………………4分
(II)由(I)可知，，
，
，
所以
平面，………………5分
是在平面內的射影，所以
是與平面所成的角，……6分
又
，………………7分
，
，………………8分
，即與平面所成角的正弦為
…………9分
(III)由(II)可知，平面，平面，
所以平面
平面，
………………10分
過點在平面內作
于
，所以
平面，
則
的長即為點到平面的距離，
………………11分
在直角三角形中，
，， ………………12分
，
……………13分
所以
即點到平面的距離為
…………14分
方法2
∵
平面，
∴以A為原點，AD、AB、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系…………1分
∵，.
∴ B (0,4,0), D (2,0 ,0) , C (2,2,0) , P ( 0,0,2) …………2分
（I）∴
∵
………………3分
∴
, 即 ………………4分
(II) ∵
設面APC法向量
∴
∴
………………6分
設
∴
………………7分
∵
∴
………8分
= ………………9分
即與平面所成角的正弦值為
(III)由∵
設面法向量
∴
∴
………………11分
設
∴
………………12分
∴點到平面的距離為
………………13分
=
∴點到平面的距離為
………………14分
17．(北京市石景山區2009年4月高三一模理)（本題滿分14分）
如圖，已知正三棱柱
―
的底面邊長是，
是側棱
的中點，直線
與側面
所成的角為
．
（Ⅰ）求此正三棱柱的側棱長；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）求點到平面
的距離．
17．（本題滿分
分）
解法一：
（Ⅰ）設正三棱柱―的側棱長為
．取中點，連結
．
∵
是正三角形，∴ 
．
又底面
側面
，
且兩平面交線為，
∴
側面．
連結
，則
為直線與側面所成的角．
∴
．
………………2分
在
中，
，解得
．
∴
此正三棱柱的側棱長為
．
………………4分
（Ⅱ）過作
于，連結．
∵
側面，∴ 
是
在平面
內的射影．
由三垂線定理，可知
．
∴ 
為二面角的平面角．
………………6分
在
中，
，又
，
， ∴
．
又
，
∴
在
中，
．
………………8分
故二面角的大小為
．
………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，
平面
，
∴
平面
平面
，且交線為，
過作
于
，則
平面．
∴
的長為點到平面的距離．
………………10分
在中，
． …………12分
∵
為中點，∴ 點到平面的距離為
． …………14分
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系
．
則
．
設
為平面的法向量．
由
，
得
．
取
．
…………6分
又平面
的一個法向量
．
…………7分
∴
． …………8分
結合圖形可知，二面角的大小為
．
…………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ），，
．
…………10分
∴
點到平面的距離
．
∴ 點到平面的距離為
．
…………14分
(17) (北京市朝陽區2009年4月高三一模) （本小題滿分14分）
如圖，在直三棱柱
中, 已知
， 
，
，是的中點.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
(理)（Ⅲ）求直線
與平面
所成角的正弦值.
(17) 解法一：
（Ⅰ）證明：因為
，
是的中點，所以
.
由已知，三棱柱是直三棱柱，
所以平面平面
.
所以
平面.
又因為
平面,
所以.
………………5分
（Ⅱ）解：由（1）知平面.
過作
，垂足為,連結.
由三垂線定理可知
，
所以
是二面角
的平面角.
由已知可求得
，
, 所以
.
所以二面角的大小為
.
由于二面角與二面角的大小互補，
所以二面角的大小為
.
………………10分
(理)（Ⅲ）過D作
,垂足為,連結
.
由（Ⅱ）可證得
平面
,所以,可證得平面.
所以, 
為直線與平面所成的角.
在直角三角形中，可知
，所以
.
在直角三角形
中，可知=.
在直角三角形
中，
=
.
所以直線與平面所成角的正弦值為
. ………………14分
解法二：
以
的中點
為原點，先證明
平面
，建立空間直角坐標系（如圖）.由已知可得
、
、
、
、
、
.
（Ⅰ）證明：
，
.
因為
，
所以.
………………5分
（Ⅱ）解：
.
設平面的一個法向量為
，
由
得
解得
所以
.
又知，
平面，所以
為平面的法向量.
因為 
,所以 
由圖可知，二面角大于90º，
所以二面角的大小為
.
………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一個法向量,
又
.
所以 
.
因為直線與平面所成角為
,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
………………14分
17. (北京市西城區2009年4月高三一模抽樣測試理)（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
又
.
（Ⅰ）求證：
平面；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求點B到平面PAD的距離.
17.（本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：在
中，
，
，
，即
，
---------------------------1分
，
平面
.
---------------------------4分
（Ⅱ）方法一：
解：由（Ⅰ）知，
又
，
平面
，
---------------------------5分
如圖，過C作
于M，連接BM，
是BM在平面PCD內的射影，
，
又
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
在
中, 
,
PC=1, 
，
，
又
，
，
. ---------------8分
在
中, 
,
BC=1, 
,
,
二面角B-PD-C的大小為
.
---------------------------9分
方法二：
解：如圖，在平面ABCD內，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，
則
,
---------------------------5分
過C作
于M，連接BM，設
，
則
，
，
；
1
共線，
，
2
由12，解得
，
點的坐標為
，
，
，
,
，
又，
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
，，
，
二面角B-PD-C的大小為
.
--------------------------9分
（Ⅲ）解：設點B到平面PAD的距離為h，
，
，
平面ABCD，
，
，
在直角梯形ABCD中，
，
.
在
中，
，
，
，
，
的面積
，
---------------------------10分
三棱錐B-PAD的體積
，
，
---------------------------12分
即
，解得
，
點B到平面PAD的距離為
.
---------------------------14分
17. (北京市西城區2009年4月高三一模抽樣測試文)（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
又
.
(Ⅰ) 求證：平面；
(Ⅱ) 求PA與平面ABCD所成角的大小；
(Ⅲ) 求二面角B-PD-C的大小.
17.（本小題滿分14分）
方法一：（Ⅰ）證明：在中，
，
，
，即，
---------------------------1分
，
平面
.
---------------------------4分
（Ⅱ）如圖，連接AC，由（Ⅰ）知
平面，
AC為PA在平面ABCD內的射影，
為PA與平面ABCD所成的角. --------------6分
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
，
PA與平面ABCD所成角的大小為
.
---------------------------8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
又
，
平面
.
---------------------------9分
如圖，過C作于M，連接BM，
是BM在平面PCD內的射影，
，
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------11分
在中, ,
PC=1, ，
，
又，
，
，
在中, ,
BC=1, 
,
,
二面角B-PD-C的大小為.
--------------------------14分
方法二：（Ⅰ）同方法一. ---------------------------4分
（Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知平面，
AC為PA在平面ABCD內的射影，
為PA與平面ABCD所成的角.
---------------------------6分
如圖，在平面ABCD內，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，
則,
，
---------------------------7分
，
PA與平面ABCD所成角的大小為
.
---------------------------9分
（Ⅲ）過C作于M，連接BM，設，
則
，
，
；
1
共線，
，
2
由12，解得，
點的坐標為，，，
,
，
又，
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------12分
，
，
，
二面角B-PD-C的大小為.
--------------------------14分
16．(北京市崇文區2009年3月高三統一考試理)（本小題滿分14分）
在直四棱柱ABCD-A1B
（I)求證：BC⊥面D1DB；
（II)求D1B與平面D1DCC1所成角的大小；
（III)在BB1上是否存在一點F，使F到平面D1BC的距離為
，若存在，則指出該點的位置；若不存在，請說明理由．
16．（本小題滿分14分）
解法一：
（I)證明：∵ABCD-A1B
∴ D1D⊥平面ABCD，
∴BC⊥D1D．
∵AB//CD, AB⊥AD．
∴四邊形ABCD為直角梯形，
又∵AB=AD=1,CD=2，
可知BC⊥DB．
∵D1D∩ DB=D，
∴BC⊥平面D1DB． -----------------------4分
（II)取DC中點E，連結BE,D1E.
∵DB=BC，
∴BE⊥CD.
∵ABCD-A1B
∴ABCD⊥D1DCC1．
∴BE⊥D1DCC1．
∴D1E為D1B在平面D1DCC1上的射影，
∴∠BD1E為所求角．
在
中，
．
．
∴所求角為
．
---------------------------------9分
（Ⅲ）假設B1B存在點F,設BF= x,
∵
,BC⊥平面D1BF，
∴
.
∵
,
∴
.
又
，
∴
．
即存在點F為B1B的中點． ---------------14分
解法二：
（I)證明：如圖建立坐標系D-xyz,
．
∴
．
∵
，
∴BC⊥DD1, BC⊥DB．
∵D1D∩ DB=D，
∴BC⊥平面D1DB． ------------------4分
（II) 
．
∵AD⊥平面D1DCC1，
∴平面D1DCC1的法向量
，
∵
．
∴D1B與平面D1DCC1所成角的大小為
.
--------------------9分
（III) 假設B1B存在點F,設BF = a，則F(1,1,a),
設平面D1BC的法向量為
，
由
．令x=1,則y = z =1.
∴
，又
，
∴
.
∵F到平面D1BC的距離為,
．
即存在點F為B1B的中點． -------------------------------------------14分
16．(北京市崇文區2009年3月高三統一考試文)（本小題滿分14分）
已知直四棱柱ABCD-A1B
（I)求證：BC⊥面D1DB；
（II)求D1B與平面D1DCC1所成角的大小．
16．（本小題滿分14分）
解法一：
（I)證明：∵ABCD-A1B
∴ D1D⊥平面ABCD，
∴BC⊥D1D．
∵AB//CD, AB⊥AD．
∴四邊形 ABCD為直角梯形，
又∵AB=AD=1,CD=2，
可知BC⊥DB．
∵D1D∩ DB=D，
∴BC⊥平面D1DB． -----------------------6分
（II)取DC中點E，連結BE,D1E.
∵DB=BC，
∴BE⊥CD.
∵ABCD-A1B
∴ABCD⊥D1DCC1．
∴BE⊥D1DCC1．
∴D1E為D1B在平面D1DCC1上的射影，
∴∠BD1E為所求角．
在中，
．
．
∴所求角為．
---------------------------------14分
解法二：
（I)證明：如圖建立坐標系D-xyz,
．
∴．
∵，
∴BC⊥DD1, BC⊥DB．
∵D1D∩ DB=D，
∴BC⊥平面D1DB． ------------------6分
（II) ．
∵AD⊥平面D1DCC1，
∴平面D1DCC1的法向量，
∵．
∴D1B與平面D1DCC1所成角的大小為.
--------------------14分
17．(北京市東城區2009年3月高中示范校高三質量檢測文理)（本小題14分）
如圖，直三棱柱
中，
，
，D為棱
的中點．
（I）證明：
；
（II）求異面直線
與
所成角的大小；
（III）求平面
所成二面角的大小（僅考慮
銳角情況）．
17．（本小題14分）
（I）證：
都為等腰直角三角形
，即
…………………………………………… （2分）
又
………………………………………………………… （4分）
（II）解：連
交于E點，取AD中點F，連EF、CF，則
是異面直線與所成的角（或補角）………………… （5分）
，
，
在
中，
………………… （8分）
則異面直線與所成角的大小為
…………………… （9分）
（III）解：延長
與AB延長線交于G點，連接CG
過A作
,連
，
，
（三垂線定理）
則
的平面角，即所求二面角的平面角… （10分）
在直角三角形ACG中，
………………………………（11分）
在直角三角形
中，
…………………… （13分）
，
即所求的二面角的大小為
……………………………………… （14分）
得 分
評卷人
17. (北京市豐臺區2009年3月高三統一檢測理)（本小題共14分）
如圖，在正三棱柱
中，
,
是
的中點，點
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的正弦值；
（Ⅱ）證明
；
(Ⅲ) 求二面角
的大小.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
，又是正△ABC邊的中點，
，
∠
為所成角
又 
sin∠=
…………5分
（Ⅱ）證明: 依題意得 
，
，
因為
由（Ⅰ）知
， 而
，
所以 
所以
…………9分
(Ⅲ) 過C作
于，作
于
，連接
， …………11分
又 
是所求二面角的平面角
，
二面角的大小為
…………14分
17. (北京市豐臺區2009年3月高三統一檢測文)（本小題共14分）
如圖，在正三棱柱中，,是的中點，點在上，。
（Ⅰ）求所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；
(Ⅲ) 證明.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中，
又 是正△ABC邊的中點，
…………3分
∠為所成角
又 sin∠=
…………5分
所以所成角為
（
）
（Ⅱ） 由已知得 
∠
為二面角的平面角， 所以 
…………9分
(Ⅲ)證明: 依題意 得 ，，
因為 …………11分
又由（Ⅰ）中 知，且，
…………14分
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