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1、已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形且AB=1，AA₁=2，點E為CC₁的中點，點F為BD₁中點，求證EF為BD₁和CC₁的公垂線

2、如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90⁰，AC=1，CB=，側棱AA₁=1，側面AA₁B₁B的兩條對角線的交點為D，B₁C₁的中點為M，求證：CD⊥平面BDM

3、在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的點，試確定點F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F

4、四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，BC=a(a>1),PA⊥平面ABCD，PA=1，點Q在BC上，問是否對任意的a>1，都存在Q∈BC使得PQ⊥DQ？證明你的結論。

[答案]3、F為CD的中點

4、a≥2時，存在點Q(1,,0)；當1<a<2時，不存在滿足條件的點Q

3.2.2空間線面關系的判定（2）-----空間線面、面面關系

[教學目標]

[教學重點]用向量方法判斷空間線面平行與垂直關系

[教學難點]用向量方法判斷空間線面平行與垂直關系

[教學過程]

一、復習引入

1、用向量研究空間線面關系，設空間兩條直線的方向向量分別為，兩個平面的法向量分別為，則由如下結論

平  行

垂  直

與

與

與

二、數學運用

例1、 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點分別在對角線上，且AN與AE滿足什么數量關系時,平面

證明：以、、為正交基底，建立如圖所示空間坐標系，設AN=xAE,AB,AD,AF長分別為3a,3b,3c，B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c)

=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c)

x

(2a,(-3x+1)b,xc)又平面CDE的一個法向量

NM//平面ECD,

由(-3x+1)b²=0x=

故AE=AE時，平面

例2、在正方體中,E,F分別是BB_1,,CD中點，問過D₁F的任何一個平面是否垂直平面ADE？

分析：只要驗證D₁F是否垂直平面ADE即可

證明：設正方體棱長為1，建立如圖所示坐標系D-xyz

,

因為所以

所以平面

故D₁F的任何一個平面垂直平面ADE

[另法]（找平面ADE的一個法向量，看是否平行于即可）

設平面ADE的一個法向量=(x,y,z),則，解得x=0,z=-2y, =(0,y,-2y) ∥，所以平面

故D₁F的任何一個平面垂直平面ADE

   例3、四棱錐P-ABCD底面是一直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，PA⊥平面ABCD，E為PC的中點(1)求證：BE∥平面PAD；(2)平面EBD是否垂直平面ABCD，證明你的結論

[方法一]原來思路⑴取PD的中點F，FEAB,ABEF是平行四邊形，BE∥AF，BE、AF分別在平面PAD外、內，故：BE∥平面PAD

⑵如果平面EBD⊥平面ABCD，交線為BD，則過E作EO⊥BD，EO⊥平面ABCD，∵PA⊥平面ABCD∴EO∥PA  ∵E為PC中點∴O為AC的中點  ∵ABCD是直角梯形∴O不在BD上，與O在BD上矛盾，平面EBD不垂直平面ABCD

[方法二]（空間向量）⑴==(+)=(+)=

(+)=(+),與、共面,但BE平面PAD ∴BE∥平面PAD⑵、、不共面，AP與平面BED不平行，平面EBD不垂直平面ABCD

[方法三]（借助空間直角坐標系）

⑴以A為原點，、、分別為x、y、z軸正方向，建立空間直角坐標系

設D(-a,0,0),B(0,b,0), P(0,0,c),則C(-a,2b,0),E(-,b,),

=(-,0,)= (+),∴與、共面，又BE平面PAD ∴BE∥平面PAD

⑵平面ABCD的法向量為=P(0,0,c)，設平面BED的法向量為=(x,y,z),則

=-=0，=-ax-by=0,解得y=-,z=,取x=1,

有平面BED的法向量=(1,-,), =a≠0，故平面EBD不垂直平面ABCD

1、如圖E、F、G、H分別為正方體AC₁的棱A₁B₁、A₁D₁、B₁C₁、D₁C₁的中點，求證

(1)E、F、G、H四點共面  (2)平面AEF∥平面BDHG

   2、如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點，求證

(1)DM∥平面ABC   (2)DE=DA

   3、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，EF⊥PB于F，求證PA∥平面EDB，PB⊥平面EFD

4、已知PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N為AB、PC的中點，且PA=AD，求證：平面MND⊥平面PDC

5、已知四棱錐P-ABCD底面是邊長為a的菱形，且∠ABC=120⁰，又PC⊥平面AC，PC=h，問在棱PA上是否存在一點E，使平面EBD⊥平面ABCD

答案：5、E為PA中點時滿足條件

3.2.3空間的角的計算（1）----線線、線面角

[教學目標]

[教學重點]異線角與線面角的計算

[教學難點]異線角與線面角的計算

教學過程

一、創設情景

1、異面直線所稱的角、線面角的定義及求解方法

2、向量的夾角公式

二、數學運用

例1 在正方體中,E₁，F₁分別在A₁B_1,,C₁D₁上，且E₁B₁=A₁B₁，D₁F₁=D₁C₁，求BE₁與DF₁所成角的余弦值。

解1：(幾何法)作平行線構造兩條異面直線所成的角

解2：（向量法）設，則且

解3：（坐標法）設正方體棱長為4，以為正交基底，建立如圖所示空間坐標系

,，＝15

注意：兩向量的夾角為銳角或直角時是兩條直線的成角，為鈍角時為兩向量成角的補角

練習：教材P96----練習1，2

練習2：在三棱錐S―ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=

（1）求證：SC⊥BC；

（2）求SC與AB所成角的余弦值

解：如圖，取A為原點，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標系，則有AC=2，BC=，SB=，

得B（0,,0）、S（0,0,2）、C（2,,0），

∴ =（2,,-2），=（－2,,0）

（1）∵?=0，∴SC⊥BC

（2）設SC與AB所成的角為α，

∵=（0,,0），?=4，||||=4，

∴cosα=，即為所求

例2 在正方體中, F分別是BC的中點，點E在D₁C₁上,且D₁C₁,試求直線E₁F與平面D₁AC所成角的余弦值

解：設正方體棱長為1，以為單位正交基底，建立如圖所示坐標系D-xyz

為D₁AC平面的法向量，

    所以直線E₁F與平面D₁AC所成角的余弦值為

設平面的斜線l與平面所的角為₁，斜線l與平面的法向量所成角₂，則₁與₂互余或與₂的補角互余。

練習1：P96---練習3

三、回顧總結

1、求兩直線角的方法：求兩直線方向向量成角，若為銳角或直角就是兩直線的成角；為鈍角時，為兩向量成角的補角

2、求線面成角的方法：求直線與平面的法向量的成角θ，|θ-90⁰|為所求.

[補充習題]已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點，P為正方體對角線A₁C上任意一點，求直線A₁C與平面PEB₁成角正弦值的范圍

[答案]

3.2.2空間的角的計算（2）――二面角的求法

[教學目標]

[教學重點]二面角的計算

[教學難點]二面角的計算

[教學過程]

一、創設情景

1、二面角的定義及求解方法

2、平面的法向量的定義法向量在求面面角中的應用：

原理：一個二面角的平面角₁與這個二面角的兩個半平面的法向量所成的角₂相等或互補。

二、建構數學

利用向量求二面角的大小。

方法一：轉化為分別是在二面角的兩個半平面內且與棱都垂直的兩條直線上的兩個向量的夾角（注意：要特別關注兩個向量的方向）如圖：二面角α-l-β的大小為θ，

A，B∈l，ACα，BDβ, AC⊥l，BD⊥l 則θ=<, >=<, > 

方法二：先求出二面角一個面內一點到另一個面的距離及到棱的距離，

然后通過解直角三角形求角。

如圖：已知二面角α-l-β，在α內取一點P，

過P作PO⊥β，及PA⊥l,連AO，則AO⊥l成立，∠PAO就是二面角的平面角

用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO 求出∠PAO。

方法三：轉化為求二面角的兩個半平面的法向量夾角的補角。

如圖（1）P為二面角α-l-β內一點，作PA⊥α，

PB⊥β，則∠APB與二面角的平面角互補。

三、數學運用

例1、 在正方體中,求二面角的大小。

解：設正方體棱長為1，以為單位正交基底，

建立如圖所示坐標系D-xyz

（法一）,

（法二）求出平面與平面的法向量

例4 、已知E,F分別是正方體的棱BC和CD的中點，求：

（1）A₁D與EF所成角的大小；

（2）A₁F與平面B₁EB所成角的大小；

（3）二面角的大小。

解：設正方體棱長為1，以為單位正交基底，建立如圖所示坐標系D-xyz

（1）

A₁D與EF所成角是

（2）,

（3）,，

二面角的正弦值為

練習：教材：P97---練習4，5

四、回顧總結

1、二面角的向量解法

2、法向量的夾角與二面角相等或互補的判斷：

五、布置作業：教材P97---98習題3，5，10，13

[補充習題]

1、空間一點P到二面角α-l-β的兩個面α、β及棱l的距離分別為、、2，則這個二面角的大小為_______

2、如圖在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1

⑴求二面角C-DE-C₁的正切值；⑵求直線EC₁與FD₁所成角的余弦值

3、在正四棱柱ABCDF-A₁B₁C₁D₁中，側棱是底面邊長的2倍，P是CC₁上的任意一點

⑴求證：總有BD⊥AP；⑵若CC₁=3C₁P，求平面AB₁P與平面ABCD所成的二面角的余弦值；⑶當點P在CC₁上何處時，AP在平面B₁AC上的射影是∠B₁AC的平分線

[答案]

1、15⁰或165⁰或75⁰或105⁰

2、⑴；⑵

3、⑴略；⑵；⑶PC=CC₁

                                 知識匯總

一、基本結論

空間向量是由平面向量推廣而來，所以空間向量中的許多結論與平面向量有類似結論

1、共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數λ，使＝λ.

2、共面向量定理  如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序實數組，使得

3、空間向量的基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使

4、數量積：＝= a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂

二、應用

  1、空間中的線面關系

⑴直線與直線：兩直線a,b的方向向量分別為、，

a∥b∥=x

a⊥b⊥=0

⑵直線與平面：直線a的方向向量為，平面α的法向量為

a∥α與α內兩不共線向量、共面（=x+y）且aα且aα

a⊥α與α內兩不共線向量、垂直（數量積為0）∥

⑶平面與平面：平面α、β法向量分別為、

α∥βα內兩不共線向量平行于β∥

α⊥β⊥∥ α

   2、空間中的角

⑴空間兩直線的成角：兩直線a,b的方向向量為、，直線a,b的成角為θ，則cosθ=|cos<,>|

⑵直線與平面的成角：設直線a的方向向量為，平面α大法向量為，則a與α的成角為

||

⑶二面角的平面角：二面角α-l-β的平面角為θ,α、β的法向量分別為、

若在α、β內分別存在OA⊥l,OB⊥l,O為l上一點，則θ=<>

θ與<,>相等或互補

練習：教材復習題11，12

作業：復習題1~10