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本小題滿分12分）

如圖,在六面體中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,四邊形是邊長為1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。

(1)求證:與AC共面，與BD共面.   

(2)求證:平面

(3)求二面角的大小.

 

如圖,在六面體中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,四邊形是邊長為1的正方形,平面,平面ABCD, 

(Ⅰ)求證:A₁C₁與AC共面，B₁D₁與BD共面；

(Ⅱ)求證:平面

(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函數值表示).

隨著環保理念的深入，用建筑鋼材余料創作城市雕塑逐漸流行．下圖是其中一個抽象派雕塑的設計圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面．
（1）若收集到的余料長度如下：AC=BD=24（單位長度），AB=7，CD=25，按現在手中的材料，求BD與α應成的角；
（2）設計師想在AB，CD中點M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個與AC，BD同時平
行的平面板裝飾物．但他擔心此設計不一定能實現．請你替他打消疑慮：無論AB，CD多長，焊接角度怎樣，一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行（即證明向量與，共面，寫出證明過程）；
（3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請替設計師打消另一個疑慮：即MN要準備多長不用視AB，CD長度而定，只與θ有關（θ為設計的BD與α所成的角），寫出MN與θ的關系式，并幫他算出無論如何設計MN都一定夠用的長度．

隨著環保理念的深入，用建筑鋼材余料創作城市雕塑逐漸流行．下圖是其中一個抽象派雕塑的設計圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面．
（1）若收集到的余料長度如下：AC=BD=24（單位長度），AB=7，CD=25，按現在手中的材料，求BD與α應成的角；
（2）設計師想在AB，CD中點M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個與AC，BD同時平
行的平面板裝飾物．但他擔心此設計不一定能實現．請你替他打消疑慮：無論AB，CD多長，焊接角度怎樣，一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行（即證明向量與，共面，寫出證明過程）；
（3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請替設計師打消另一個疑慮：即MN要準備多長不用視AB，CD長度而定，只與θ有關（θ為設計的BD與α所成的角），寫出MN與θ的關系式，并幫他算出無論如何設計MN都一定夠用的長度．