新課程能力培養九年級數學北師大版
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例題 已知$\triangle ABC$和$\triangle DEF$是兩個等腰直角三角形，$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$\triangle DEF$的頂點$E$位于$BC$的中點處。
(1) 如圖1，設$DE$與$AB$交于點$M$，$EF$與$AC$交于點$N$，求證：$\triangle BEM\sim\triangle CNE$。
(2) 如圖2，將$\triangle DEF$繞點$E$旋轉，使得$DE$與$BA$的延長線交于點$M$，$EF$與$AC$交于點$N$。求證：$\triangle ECN\sim\triangle MEN$。
答案：(1) $\triangle ABC$和$\triangle DEF$是等腰直角三角形，$\angle B=\angle C=\angle DEF=45^{\circ}$，$\angle BME+\angle 2=135^{\circ}$，$\angle CNE+\angle 4 = 135^{\circ}$，$\angle 2+\angle 3=135^{\circ}$，$\angle 3+\angle 4=135^{\circ}\Rightarrow\angle 2=\angle 4$，所以$\triangle BEM\sim\triangle CNE$；
(2) 由(1)得$\frac{BE}{CN}=\frac{EM}{NE}$，$E$是$BC$中點$\Rightarrow BE=EC\Rightarrow\frac{EC}{CN}=\frac{EM}{NE}$，$\angle ECN=\angle MEN=45^{\circ}$，所以$\triangle ECN\sim\triangle MEN$
1. 如圖，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，點$D$是$AC$上一點，$DE\perp AB$于點$E$，若$AC = 8$，$BC = 6$，$DE = 3$，則$AD$的長為
5
。
答案：5
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$，$\triangle ADE\sim\triangle ABC\Rightarrow\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow\frac{3}{6}=\frac{AD}{10}\Rightarrow AD = 5$
2. $\triangle ABC$的三邊長分別為$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{15}$，$\triangle A'B'C'$的兩邊長分別為$1$和$\sqrt{2}$，則當$\triangle A'B'C'$的第三邊長為
$\sqrt{3}$
時，$\triangle ABC$與$\triangle A'B'C'$相似。
答案：$\sqrt{3}$
$\triangle ABC$三邊比為$\sqrt{5}:\sqrt{10}:\sqrt{15}=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$，$\triangle A'B'C'$兩邊$1$，$\sqrt{2}$與$\triangle ABC$前兩邊對應成比例，所以第三邊為$\sqrt{3}$
