新課程能力培養九年級數學北師大版
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7. 矩形的長與寬分別為$a$，$b$，下列數據能構成黃金矩形的是$(\quad)$
A. $a = 4$，$b=\sqrt{5}+2$
B. $a = 4$，$b=\sqrt{5}-2$
C. $a = 2$，$b=\sqrt{5}+1$
D. $a = 2$，$b=\sqrt{5}-1$
答案：D
黃金矩形寬與長的比為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，D選項$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合
8. 如圖，$AB$是一根木棍，為使打造的東西更美觀，需找到$AB$的一個黃金分割點，以便斷開，請你完成這項任務。
答案：1. 過點$B$作$AB$的垂線，截取$BD=\frac{1}{2}AB$；
2. 連接$AD$，在$AD$上截取$DE = DB$；
3. 在$AB$上截取$AC=AE$，則點$C$為$AB$的黃金分割點（$AC＞CB$）
9. 已知$AB = 6$，點$C$為$AB$的黃金分割點$(AC＞BC)$，求$AC - BC$的值。
答案：$6\sqrt{5}-12$
$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=3\sqrt{5}-3$，$BC=AB - AC=6-(3\sqrt{5}-3)=9 - 3\sqrt{5}$，$AC - BC=(3\sqrt{5}-3)-(9 - 3\sqrt{5})=6\sqrt{5}-12$
10. 如圖，已知$\triangle ABC$中，點$D$是$AC$邊上一點，$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle C=72^{\circ}$，$\angle ADB = 108^{\circ}$。試說明：
(1) $AD = BD=BC$。
(2) 點$D$是線段$AC$的黃金分割點。
答案：(1) $\angle A=36^{\circ}$，$\angle ADB = 108^{\circ}\Rightarrow\angle ABD=180^{\circ}-36^{\circ}-108^{\circ}=36^{\circ}=\angle A\Rightarrow AD = BD$，$\angle BDC=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}=\angle C\Rightarrow BD = BC$，所以$AD=BD = BC$；
(2) $\angle A=\angle DBC=36^{\circ}$，$\angle C=\angle C\Rightarrow\triangle ABC\sim\triangle BDC\Rightarrow\frac{BC}{AC}=\frac{DC}{BC}\Rightarrow BC^{2}=AC\cdot DC$，$AD = BC\Rightarrow AD^{2}=AC\cdot DC$，所以點$D$是線段$AC$的黃金分割點
