新課程能力培養九年級數學北師大版
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7. 如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，E，F分別是AB，AD的中點. 求證：OE = OF.
答案：證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以AB = AD，且AC⊥BD，即∠AOB = ∠AOD = 90°. 又因為E，F分別是AB，AD的中點，在Rt△AOB中，OE是斜邊AB的中線，則OE = $\frac{1}{2}AB$；在Rt△AOD中，OF是斜邊AD的中線，則OF = $\frac{1}{2}AD$. 由于AB = AD，所以OE = OF.
8. 如圖，E是菱形ABCD的邊AD的中點，EF⊥AC于點H，交CB的延長線于點F，交AB于點G. 求證：AB與EF互相平分.
答案：證明：連接BD. 因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AD∥BC. 又因為EF⊥AC，所以EF∥BD. 因為AD∥BC，EF∥BD，所以四邊形BDEF是平行四邊形，則DE = BF. 因為E是AD的中點，所以AE = DE，所以AE = BF. 又因為AE∥BF，所以四邊形AFBE是平行四邊形，根據平行四邊形的性質，對角線互相平分，所以AB與EF互相平分.
9. 如圖，在菱形ABCD中，E，F分別是BC，CD上的點，∠B = ∠EAF = 60°，∠BAE = 18°. 求∠CEF的度數.
答案：解：連接AC. 因為四邊形ABCD是菱形，∠B = 60°，所以△ABC和△ADC都是等邊三角形，則AB = AC，∠BAC = ∠ACB = 60°. 因為∠EAF = 60°，所以∠BAE+∠EAC = ∠EAC+∠CAF，即∠BAE = ∠CAF. 又因為∠B = ∠ACF = 60°，AB = AC，所以△ABE≌△ACF（ASA），所以AE = AF. 又因為∠EAF = 60°，所以△AEF是等邊三角形，所以∠AEF = 60°. 因為∠AEC = ∠B+∠BAE = 60° + 18° = 78°，所以∠CEF = ∠AEC - ∠AEF = 78° - 60° = 18°.
10.（2024·廣東）如圖，菱形ABCD的面積為24，點E是AB的中點，點F是BC上的動點. 若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為___.
答案：10
11.（2024·綏化）如圖，四邊形ABCD是菱形，CD = 5，BD = 8，AE⊥BC于點E，則AE的長是（ ）A. $\frac{24}{5}$ B. 6 C. $\frac{48}{5}$ D. 12
答案：A
12.（2024·濟南）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足為點E，CF⊥AD，垂足為F. 求證：AF = CE.
答案：證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以AD = CD，∠D = ∠D. 因為AE⊥CD，CF⊥AD，所以∠AED = ∠CFD = 90°. 所以△ADE≌△CDF（AAS），則DE = DF. 因為AD - DF = CD - DE，所以AF = CE.
