新課程能力培養九年級數學北師大版
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7. 如圖，已知AB//CD，AD與BC相交于點P，AB = 4，CD = 7，AD = 10，則AP的長等于（ ）
A. $\frac{40}{11}$
B. $\frac{40}{7}$
C. $\frac{70}{11}$
D. $\frac{70}{4}$
答案：因為AB//CD，所以$\triangle ABP\sim\triangle DCP$，則$\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{CD}$。設AP = x，則DP = 10 - x，所以$\frac{x}{10 - x}=\frac{4}{7}$，$7x = 4(10 - x)$，$7x = 40 - 4x$，$11x = 40$，解得$x=\frac{40}{11}$，即AP的長為$\frac{40}{11}$，答案是A。
8. 如圖，在Rt$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，CD$\perp$AB于點D，若AD = 1，BD = 4，則CD =（ ）
A. 2
B. 4
C. $\sqrt{2}$
D. 3
答案：由射影定理可得$CD^{2}=AD\cdot BD$，已知AD = 1，BD = 4，所以$CD^{2}=1\times4 = 4$，則CD = 2，答案是A。
9. 如圖，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，DE垂直平分AB，交BC于點E，AB = 20，AC = 12。求BE的長。
答案：在Rt$\triangle ABC$中，根據勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=\sqrt{400 - 144}=\sqrt{256}=16$。連接AE，因為DE垂直平分AB，所以AE = BE。設BE = x，則CE = 16 - x，在Rt$\triangle ACE$中，根據勾股定理$AC^{2}+CE^{2}=AE^{2}$，即$12^{2}+(16 - x)^{2}=x^{2}$，$144+256-32x+x^{2}=x^{2}$，$32x = 400$，解得$x=\frac{25}{2}$，所以BE的長為$\frac{25}{2}$。
10. 如圖，正方形ABCD的頂點A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點G，連接CF。求證：
(1)$\triangle DAE\cong\triangle DCF$；
(2)$\triangle ABG\sim\triangle CFG$。
答案：(1) 因為四邊形ABCD是正方形，所以AD = CD，$\angle ADC = 90^{\circ}$。因為$\triangle DEF$是等腰直角三角形，所以DE = DF，$\angle EDF = 90^{\circ}$，那么$\angle EDF-\angle ADC=\angle ADC-\angle ADC$，即$\angle ADE=\angle CDF$。在$\triangle DAE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle ADE=\angle CDF\\DE = DF\end{cases}$，所以$\triangle DAE\cong\triangle DCF(SAS)$。
(2) 由(1)知$\triangle DAE\cong\triangle DCF$，所以$\angle DAE=\angle DCF$。因為四邊形ABCD是正方形，所以$\angle B=\angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle BAG+\angle DAE = 90^{\circ}$，$\angle FCG+\angle DCF = 90^{\circ}$，所以$\angle BAG=\angle FCG$，又因為$\angle B=\angle FCG = 90^{\circ}$，$\angle AGB=\angle FGC$，所以$\triangle ABG\sim\triangle CFG$。
11. 如圖，$\angle ABD=\angle BCD = 90^{\circ}$，DB平分$\angle ADC$，過點B作BM//CD交AD于點M。連接CM交DB于點N。
(1) 請說明：$BD^{2}=AD\cdot CD$；
(2) 若CD = 6，AD = 8，求MN的長。
答案：(1) 因為DB平分$\angle ADC$，所以$\angle ADB=\angle CDB$，又因為$\angle ABD=\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABD\sim\triangle BCD$，則$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}$，所以$BD^{2}=AD\cdot CD$。
(2) 由$BD^{2}=AD\cdot CD$，CD = 6，AD = 8，可得$BD^{2}=8\times6 = 48$，$BD = 4\sqrt{3}$。因為BM//CD，所以$\angle MBD=\angle BDC$，又因為$\angle ADB=\angle BDC$，所以$\angle MBD=\angle ADB$，所以BM = MD。設BM = MD = x，則AM = 8 - x，在Rt$\triangle ABM$中，$AB^{2}=AD^{2}-BD^{2}=64 - 48 = 16$，$AB = 4$，根據勾股定理$AB^{2}+AM^{2}=BM^{2}$，即$4^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$，$16+64-16x+x^{2}=x^{2}$，$16x = 80$，$x = 5$，即BM = MD = 5，AM = 3。因為BM//CD，所以$\triangle BMN\sim\triangle DCN$，則$\frac{MN}{CN}=\frac{BM}{CD}=\frac{5}{6}$，$MC=\sqrt{MD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{25 + 36}=\sqrt{61}$，所以$MN=\frac{5}{11}\sqrt{61}$。
