新課程能力培養九年級數學北師大版
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8. 如圖，用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚鋪設正方形地面，觀察圖形并解答下列問題：（1）在第n個圖形中，每一橫行共有______塊瓷磚，每一豎列共有______塊瓷磚，該圖形中共有______塊瓷磚；（2）上述的圖形中，若每塊白瓷磚50元，每塊黑瓷磚3元，在問題（1）中，設鋪設這樣的圖形地面共用了y元，求y與n的函數表達式；（3）在（2）的條件下，若鋪設這樣的地面共用了506元，求此時n的值；（4）是否存在黑瓷磚與白瓷磚數量相等的情形？請通過計算說明。
答案：（1）每一橫行有(n + 3)塊瓷磚，每一豎列有(n + 3)塊瓷磚，共有(n + 3)^2塊瓷磚；（2）白瓷磚數量為n(n + 1)塊，黑瓷磚數量為(n + 3)^2 - n(n + 1) = 4n + 9塊，y = 50n(n + 1)+3(4n + 9)=50n^2+50n + 12n+27 = 50n^2+62n + 27；（3）令y = 506，即50n^2+62n + 27 = 506，50n^2+62n - 479 = 0，解得n = 3或n=-\frac{159}{50}（舍去），所以n = 3；（4）令n(n + 1)=4n + 9，n^2 - 3n - 9 = 0，解得n = \frac{3\pm3\sqrt{5}}{2}，因為n不是正整數，所以不存在黑瓷磚與白瓷磚數量相等的情形。
9. 若一元二次方程x^2 - 2x + 4c = 0無實數根，則實數c的取值范圍為______。
答案：對于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a\neq0)，判別式\Delta=b^2 - 4ac，此方程中a = 1，b=-2，c = 4c，因為無實數根，所以\Delta=(-2)^2-4\times1\times4c<0，4 - 16c<0，解得c>\frac{1}{4}。
10. 若關于x的一元二次方程x^2 - 4x + c = 0有兩個相等的實數根，則實數c的值為______。
答案：對于一元二次方程x^2 - 4x + c = 0，a = 1，b=-4，c = c，因為有兩個相等實數根，所以\Delta=(-4)^2-4c = 0，16 - 4c = 0，解得c = 4。
11. 若實數A是方程\sqrt{2}x - 1 = \sqrt{2}+1的解，則實數A與2的積為（ ）A. 4 B. 4 + \sqrt{2} C. \sqrt{2}+1 D. \sqrt{2}
答案：先解方程\sqrt{2}x - 1 = \sqrt{2}+1，\sqrt{2}x=\sqrt{2}+2，x = 1+\sqrt{2}，則A = 1+\sqrt{2}，A\times2=(1 + \sqrt{2})\times2=2 + 2\sqrt{2}，題目選項有誤。若解方程為\sqrt{2}x-1=\sqrt{2}-1，解得x = 1，A = 1，A\times2 = 2；若解方程為\sqrt{2}x+1=\sqrt{2}+1，解得x = 1，A = 1，A\times2 = 2；若按照\sqrt{2}x - 1 = \sqrt{2}+1正確解出A = 1+\sqrt{2}，A\times2=2 + 2\sqrt{2}，沒有符合的選項，推測題目方程可能為\sqrt{2}x-1=\sqrt{2}-1，此時選A。
12. 以下關于一元二次方程x^2 - 6x + 6 = 0根的說法正確的是（ ）A. 有兩個相等的實數根 B. \sqrt{2} + 1是它的一個實數根 C. 1是它的一個實數根 D. x^2-6x + 6 = 0無實數根
答案：對于一元二次方程x^2 - 6x + 6 = 0，a = 1，b=-6，c = 6，\Delta=(-6)^2-4\times1\times6=36 - 24 = 12>0，有兩個不相等實數根，由求根公式x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}，都不是\sqrt{2}+1和1，所以選項都不正確。
13. 已知關于x的一元二次方程x^2 - 2mx + m^2 - m - 1 = 0，下列判斷正確的是（ ）A. 無實數根 B. 有兩個相等的實數根 C. 有兩個不相等的實數根 D. 無法確定實數根的情況
答案：對于方程x^2 - 2mx + m^2 - m - 1 = 0，a = 1，b=-2m，c = m^2 - m - 1，\Delta=(-2m)^2-4\times1\times(m^2 - m - 1)=4m^2-4m^2 + 4m + 4 = 4m + 4，當m>-1時，\Delta>0，有兩個不相等實數根；當m=-1時，\Delta=0，有兩個相等實數根；當m<-1時，\Delta<0，無實數根，無法確定，選D。
14. 對于任意實數A，B，C，有[A，B，C]=A^2 + B^2 + C^2，若[A，B，C]=13，且關于x的方程x^2+2x + m = 0有兩個相等的實數根，則m的取值范圍為（ ）A. m>\frac{1}{4}且m\neq0 B. m<\frac{1}{4}且m\neq0 C. m>\frac{1}{4} D. m<\frac{1}{4}
答案：因為關于x的方程x^2+2x + m = 0有兩個相等實數根，所以\Delta=2^2-4m = 0，解得m = 1，1>\frac{1}{4}，選C。
