新課程能力培養(yǎng)九年級數(shù)學(xué)北師大版
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例題 如圖，點$C$是線段$AB$的黃金分割點，$BC＞AC$，點$D$，$E$分別是$AC$，$BC$的中點，那么點$C$是線段$DE$的黃金分割點嗎？
是
答案：是
點$D$，$E$分別是$AC$，$BC$的中點，$CD=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$，$DE=CD + CE=\frac{1}{2}(AC + BC)=\frac{1}{2}AB$。
點$C$是線段$AB$的黃金分割點，$BC＞AC$，$\frac{BC}{AB}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow BC^{2}=AB\cdot AC$，
$CE^{2}=(\frac{1}{2}BC)^{2}=\frac{1}{4}BC^{2}=\frac{1}{4}AB\cdot AC=\frac{1}{2}AB\cdot\frac{1}{2}AC=DE\cdot CD$，$\frac{CE}{DE}=\frac{CD}{CE}$，所以點$C$是線段$DE$的黃金分割點
1. 點$C$是線段$AB$上一點$(AC＞BC)$，且滿足$AC^{2}=AB\cdot BC$，則點$C$是線段$AB$的
黃金分割
點。
答案：黃金分割
由黃金分割點定義：若點$C$把線段$AB$分成兩條線段$AC$和$BC(AC＞BC)$，且$AC^{2}=AB\cdot BC$，則點$C$是線段$AB$的黃金分割點
2. 線段$AB$的長為$10\space cm$，點$C$是$AB$的黃金分割點，且$AC=\sqrt{AB\cdot BC}$，則$AC=$
$5\sqrt{5}-5$
$cm$。
答案：$5\sqrt{5}-5$
設(shè)$AC=x$，則$BC=10 - x$，$x^{2}=10(10 - x)\Rightarrow x^{2}+10x - 100=0$，解得$x=\frac{-10\pm\sqrt{100 + 400}}{2}=\frac{-10\pm10\sqrt{5}}{2}=-5\pm5\sqrt{5}$，取正$AC=5\sqrt{5}-5$
3. 如圖，頂角為$36^{\circ}$的等腰三角形稱為黃金三角形，$\triangle ABC$，$\triangle BDC$，$\triangle DEC$都是黃金三角形，已知$AB = 2\space cm$，則$DE=$
$3-\sqrt{5}$
$cm$。
答案：$3-\sqrt{5}$
$\triangle ABC$是黃金三角形，$AB = AC=2$，$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow BC=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$，同理$DC=BC=\sqrt{5}-1$，$AC=2\Rightarrow AD=AC - DC=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$，$\triangle DEC$是黃金三角形，$DE=AD=3-\sqrt{5}$
4. 如圖，在$□ ABCD$中，點$E$是邊$BC$上的黃金分割點，且$BE＞CE$，$AE$與$BD$相交于點$F$，那么$FD:BF$的值為
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
。
答案：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
$AD// BC\Rightarrow\triangle AFD\sim\triangle EFB\Rightarrow\frac{FD}{BF}=\frac{AD}{BE}$，設(shè)$BC=1$，$BE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$AD=BC=1$，$\frac{FD}{BF}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
5. 如圖，已知點$P$是線段$AB$的黃金分割點，且$PA＞PB$，若$S_{1}$表示以$PA$為邊的正方形的面積，$S_{2}$表示長為$AB$、寬為$PB$的矩形的面積，那么$S_{1}$與$S_{2}$的關(guān)系為
$S_{1}=S_{2}$
。
答案：$S_{1}=S_{2}$
點$P$是黃金分割點，$PA^{2}=AB\cdot PB$，$S_{1}=PA^{2}$，$S_{2}=AB\cdot PB$，所以$S_{1}=S_{2}$
6. 在如圖所示的五角星中，$\frac{AC}{AB}$與$\frac{BC}{AC}$的關(guān)系是$(\quad)$
A. $\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$
B. $\frac{AC}{AB}＞\frac{BC}{AC}$
C. $\frac{AC}{AB}＜\frac{BC}{AC}$
D. $\frac{AC}{AB}\neq\frac{BC}{AC}$
答案：A
五角星中每條線段都滿足黃金分割比，即$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
