新課程能力培養九年級數學北師大版
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10. 如圖，已知$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
(1) 試說明：$\frac{BD}{AB}=\frac{EC}{AC}$。
(2) 若$AB = 10$，$AE = 2$，$EC = 3$，求$AD$的長。
答案：(1) 設$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=k$，則$AD = kDB$，$AE=kEC$，$AB=AD + DB=kDB + DB=DB(k + 1)$，$AC=AE + EC=kEC + EC=EC(k + 1)$，$\frac{BD}{AB}=\frac{DB}{DB(k + 1)}=\frac{1}{k + 1}$，$\frac{EC}{AC}=\frac{EC}{EC(k + 1)}=\frac{1}{k + 1}$，所以$\frac{BD}{AB}=\frac{EC}{AC}$；
(2) 設$AD=x$，則$DB=10 - x$，$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{10 - x}=\frac{2}{3}\Rightarrow3x=20 - 2x\Rightarrow5x = 20\Rightarrow x = 4$，$AD = 4$
11. 如圖，已知$\frac{AB}{BE}=\frac{AM}{ME}=\frac{AC}{CE}$。試說明：$\frac{AB + BC + AC}{BC}=\frac{AE}{ME}$。
答案：設$\frac{AB}{BE}=\frac{AM}{ME}=\frac{AC}{CE}=k$，則$AB = kBE$，$AM=kME$，$AC=kCE$，$AE=AM + ME=kME + ME=ME(k + 1)\Rightarrow\frac{AE}{ME}=k + 1$，$BC=BE + CE$，$AB + BC + AC=kBE + BE + CE + kCE=(k + 1)(BE + CE)=(k + 1)BC$，所以$\frac{AB + BC + AC}{BC}=k + 1=\frac{AE}{ME}$
12. (2024·常州) 書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有民族傳統的一門特殊藝術。如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是$1.2m×0.8m$。裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是$a\space m$，$b\space m$，$c\space m$，$d\space m$。若裝裱后$AB$與$AD$的比是$16:10$，且$a = b$，$c = d$，$c = 2a$，求四周邊襯的寬度。
答案：設$a=b=x$，則$c=d = 2x$，$AB=1.2 + c + d=1.2 + 4x$，$AD=0.8 + a + b=0.8 + 2x$，$\frac{AB}{AD}=\frac{16}{10}=\frac{8}{5}\Rightarrow\frac{1.2 + 4x}{0.8 + 2x}=\frac{8}{5}\Rightarrow5(1.2 + 4x)=8(0.8 + 2x)\Rightarrow6 + 20x=6.4 + 16x\Rightarrow4x=0.4\Rightarrow x = 0.1$，所以$a=b = 0.1m$，$c=d=0.2m$
