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題目列表(包括答案和解析)

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3.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，若M、N在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別是M₁、N₁，則∠M₁FN₁等于

A.45°　　　　　　　　　　　　 B.60°　　　　　　　　　 C.90°　　　　　　　　　　　　 D.120°

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2.過(guò)拋物線y²＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)兩點(diǎn)，若x₁+x₂＝6，那么|AB|等于

A.10　　　　　　　　　　　　　 B.8　　　　　　　　　　　 C.6　　　　　　　　　　　　　　 D.4

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1.拋物線y＝－的準(zhǔn)線方程為

A.x＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.y＝

C.x＝　　　　　　　　　　　　　　 D.y＝

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函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為一個(gè)區(qū)間。

[例]用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)()的單調(diào)區(qū)間。

解：(用第一種關(guān)系及單調(diào)區(qū)間的合并)，當(dāng)，即或時(shí)，∴在，上為增函數(shù)，又∵在處連續(xù)，且相鄰區(qū)間的單調(diào)性又相同，∴在上為增函數(shù)。

舊教材很少提到函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并，原因在于教師很難講，學(xué)生很難把握，但是新教材引進(jìn)函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)之后就很容易說(shuō)明，也很容易理解了。

綜之，用導(dǎo)數(shù)證明劃分函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)最常用、也是最基本的應(yīng)用，其它重要性如極值、最值等都必須用到單調(diào)性。它比用單調(diào)性的定義證明要簡(jiǎn)單許多，劃分也容易理解得多。討論可導(dǎo)函數(shù)得單調(diào)性可按如下步驟進(jìn)行：

(1)　　　確定的定義域；(2)求，令，解方程求分界點(diǎn)；

(3)用分屆點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間；

(4)判斷在每個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，即可確定的單調(diào)性。

以下是前幾年高考用導(dǎo)數(shù)證明、求單調(diào)性的題目，舉例說(shuō)明如下：

例1設(shè)，是上的偶函數(shù)。

(I)求的值；(II)證明在上是增函數(shù)。(2001年天津卷)

解：(I)依題意，對(duì)一切有，即，

∴對(duì)一切成立，由此得到，，又∵，∴。

(II)證明：由，得，

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)。∴在上是增函數(shù)。

例2設(shè)函數(shù)，其中。(2000年全國(guó)、天津卷)

(I)解不等式；(II)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。

解1：(I)分類討論解無(wú)理不等式(略)。 (II)作差比較(略)。

解2：(i)當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。但，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。

(ii)當(dāng)時(shí)，解不等式，得，在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。解方程，得或，

∵，　 ∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

綜上，(I)當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為：；

當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為：。

(II)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上時(shí)單調(diào)函數(shù)。

例3設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2003年高考(理)19題)

解：()　當(dāng)，時(shí)，

，，

(i)當(dāng)時(shí)，對(duì)所有，恒有，即，此時(shí)在單調(diào)遞增；

(ii)當(dāng)時(shí)，對(duì)，恒有，即，此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，

又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增；

(iii)當(dāng)時(shí)，令，即，

解得或，因此，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，令，即，

解得，

因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減。

本題用傳統(tǒng)作差比較法無(wú)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只有用導(dǎo)數(shù)才行。

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3．與為增函數(shù)的關(guān)系。

由前分析，為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?sub>，即為或。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。∴是為增函數(shù)的必要不充分條件。

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題，都一律用開(kāi)區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問(wèn)題，也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，特別是研究以下問(wèn)題時(shí)。

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2．時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系。

若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。∴當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。

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我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系，才能準(zhǔn)確無(wú)誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡(jiǎn)單的分析，前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。