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2．已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B ={x|3≤x≤22}，則能使AÍA∩B成立的a的取值范圍是　　　　　 　　　( 　)

　　 A．{a|1≤a≤9}　 B．{a|6≤a≤9}　 C．{a|a≤9} 　　　D．

1．若以集合S={}中的三個不同元素為邊長可構成一個三角形，那么這個三角形一定不可能是　　　　　　 (　 )

A．銳角三角形　 B．直角三角形　

C．鈍角三角形　 D．等腰三角形

5．用集合思想解題

[例11]一次大型會議有2002位代表參加，每位代表至少有1335位合作者．試問這些代表中是否總可以找到四位代表，他們中的每兩位都合作過？請證明你的結論．

[分析]以合作的人數最少(2人)的情況為基礎，構造集合，利用集合元素的個數的計數原理，使合作的人數增多．

[解]記各代表為a_i(i=1,2,3,…,2002)，與a_i合作過的代表組成的集合記為A_i，任取合作過的兩位代表為a₁，a₂，于是

card(A₁)≥1335，card(A₂)≥1335，

card(A₁∪A₂)≤2002，card (A₁∪A₂∪A₃)≤2002．

畫出韋恩圖(如圖5)，得

card(A₁∩A₂)= card(A₁)+ card(A₂)- card(A₁∪A₂)

≥1335+1335-2002=668>0，

從而，存在代表a₃Î A₁∩A₂，且a₃Ï{ a₁，a₂}．

又card(A₁∩A₂∩A₃)= card[(A₁∩A₂)∩A₃]

= card(A₁∩A₂)+ card(A₂)- card[(A₁∩A₂)∪A₃]

≥668+1335- card[(A₁∪A₂)∪A₃] ≥2003-2002=1．

于是，存在代表a₄Î A₁∩A₂∩A₃，且a₄Ï{ a₁，a₂，a₃}，即存在代表a₁,a₂, a₃, a₄，兩兩合作過．

[點悟]①解題關鍵點是構造集合，利用集合思想進行解題．

②解題規律是畫韋恩圖，得到關于集合的元素個數的計數原理：card(A∩B)= card(A)+ card(B)- card(A∪B)．

利用集合思想解題，使問題變得簡潔，思路顯得清晰．

③解題易錯點容易誤認為：card(A∪B)= card(A)+ card(B)．

4．分類討論法

[例8]已知三個集合A={x∣x²-3x+2=0}，B={x∣x²-ax+a=1}，C={x∣x²-bx+2=0}．試問同時滿足BA且C?A的實數a和b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，請說明理由．

　　　 [分析]先化簡集合A、B及C，然后運用條件BA且C?A探求a與b的值或說明其不存在．

　　　 [解]由 x²-3x+2=0，解得 x=1或x=2，于是A={1，2}．

　　　 由x²-ax+a=1，解得 x=1或x=a -1．于是，

　　　 當a=2時，B={1}；當a≠2時，B={1，a-1}．

　　　 先求實數a的可能取值：

　　　 當a=2，即B={1}時，不滿足BA，故a≠2；

　　　 當B={1，a-1}，即a≠2時，由BA，得a-1≠2，于是a≠3．

　　　 其次求實數b的可能取值：

　　　 對于方程x²-bx+2=0，其判別式 ⊿=b²-8．

　　　 當⊿<0，即時，方程x²-bx+2=0無解，C=，顯然滿足題設；

　　　 當⊿=0，即b= 時，方程x²-bx+2=0的解為x=，C＝{}，即C={}(當b=)或C={}(當b=)，此時，不能滿足C?A，故b≠；

　　　 當⊿>0，即或時，方程x²-bx+2=0有兩個不等實數根、，于是C={，}．若C?A，則必有1∈C或2∈C．但·=2，故、均不能為1或2，從而此種情形下無解．

　　　 故滿足條件的實數a與b均存在，且a∈R，a≠2、3，．

　　　 [點悟]①解題關鍵點是弄清每一個集合中的元素，理清集合間的關系，正確合理使用題中所給信息，對問題所及方面進行正確的分類．

②解題技巧是對集合A、B與C的化簡及對集合A與B的分別求解．

③解題易錯點是忽視對集合元素的互異性的檢驗，遺漏空集是任何非空集合的真子集的情形，忽視對集合B的元素個數是一個還是兩個的討論．

[例9]設集合A={x∣x²+px+1=0}，B={ x∣x >0}，當A∩B=，求實數p的取值范圍．

　　　 [分析]利用根的判別式與0的大小關系分A為空集和非空集的情況討論求解．

　　　 [解]因 A∩B=，故 A=或A中的元素只有非正數．

　　　 若A=，則⊿=p²-4<0，解得 -2< p<2；

　　　 若A中的元素只有非正數，則 ⊿≥0且= -p≤0，，解得 p≥2．

　　　 于是實數p的取值范圍為p>-2．

　　　 [點悟]①解題關鍵點是將集合語言準確地翻譯成文字語言，即轉換成一種更為直觀淺顯的條件．

②解題規律是對于含有參數的一元二次方程根的情況可使用判別式法進行討論求之．

③解題易錯點是忽視A=的情況，引起失解，縮小p的取值范圍．

[例10]已知集合P=．

(1)若P中只有一個元素，試求a的值，并把這個元素寫出來；

(2)若P中至多只有一個元素，試求a的取值范圍．

[分析]x²前的系數為a，它在變化，故須對a進行討論：它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程；它可能有實數根，也可能無實數根．

[解]集合P表示方程在實數范圍內的解的集合．

(1)當時，⊿=，a =4，方程有兩個相等的實數根，P中只有一個元素；當a=0時，方程為一元一次方程，方程只有唯一解．故當P中只有一個元素時，a=4或0．當a=4時，元素為；當a=0時，元素為．

(2)P中至多只有一個元素，包含P為空集和P中只有一個元素兩種情形．當P為空集時，由及⊿=解得a>4，從而a的取值范圍為或a=0．

[點悟]①解題關鍵點是正確審題，搞清“只有一個”與“至多只有一個”的真正含義并注意它們的區別，注意參數a所在的位置(這里的a在二次項系數前，因而方程未必為二次的)對解題的影響．

②解題規律是根的判別式⊿只適用于實系數一元二次方程根的討論．

③解題易錯點是混淆“空集是不含任何元素的集合”的概念，從而遺漏對空集情況的檢驗討論；另一方面容易忽視對方程次數即a=0的情況的討論．

3．數形結合法

[例6](1)已知U為全集，集合M、N?U，若M∩N=N，則　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．?_UM?_UN 　　B．M?_UN　

C．?_UM?_UN　 　D．M?_UN

(2)設U是全集，集合P、Q滿足P?Q，則下面的結論中錯誤的是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．P∪Q=Q　　　　 　　B．(?_U P)∪Q=U　

C．P∩(?_U Q)= 　　　D．(?_U P)∩(?_U Q)=?_U P

[分析]本題中兩小題是一對姊妹題，一對高考題，第(1)小題為1995年全國高考題，檢測根據集合的交并關系判斷集合間

的包含及包含于關系；第(2)小題為1994年上海市高考題，檢測由集合的包含關系判斷集合的交并關系．兩小題均涉及全集、補集、子集及真子集、集合的交并補運算，題中均未給出具體的集合，因而它們不僅全面檢測了考生對集合概念理解和掌握程度，也檢測了考生的抽象能力，是兩道“題小功能大”的好題．對于第(1)小題，作出韋恩圖如圖2，由圖易知?_UM?_UN正確，從而答案選C；對于第(2)小題，作出韋恩圖如圖3，由圖可知，僅D選項的內容錯誤，從而答案選D．

[點悟]①解題關鍵點是借助韋恩圖法，直接觀察得到結論．

②解題規律是當問題比較抽象時，可以將問題特殊化、具體化，不妨取些特例，即用選擇題的特例排除法來迅速得到答案．如對于第(1)小題，可令U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={1，2}，則?_UM={4}，?_UN={3，4}，顯然只有?_UM?_UN成立，故答案非C莫屬；對于第(2)小題，亦可令U={1，2，3，4}，Q={1，2，3}，P={1，2}，則錯誤結論D躍然紙上．

③解題易錯點是讀審題不認真仔細，不能注意提示用語，如第(1)小題選的是正確項，而第(2)小題選的則是錯誤項；另外不能正確理解集合語言及符號，搞錯概念的內涵與外延．

[例7]已知集合A=，B=

{ x︱3a+1≤x≤2}，試問是否存在實數a使得A Ì B成立？若存在，試求出a的值；若不存在，請說明理由．

[分析]本題檢測解絕對值不等式的能力，對集合間的包含關系的理解和轉化能力，以及對字母的分類討論能力，是一道小型綜合題．解題時，可先對集合A進行化簡，然后根據集合間的關系利用數形結合的辦法，畫出數軸，求出適合題意的a的值，或說明其值不存在．

[解]根據︱x︱≤a(a>0)的解集可將A中的元素化為

　　　 ．

解得　 ．

故 A={ x︱}．

因A Ì B，畫出如圖4的示意圖，由此得

解得　 ．

于是符合條件的實數a存在，且．

[點悟]①解題關鍵點是正確理解條件“A Ì B”，畫出數軸，以形助數，從而順利破解問題．

②解題規律是一般為先假設問題是存在的，然后通過計算、證明、推理等手段，能求出解的可下結論是存在的，不能求出其解的可下結論是不存在的．其解題過程和一般非開放型問題的求解相類似．

③解題易錯點是認為有參數的問題，都需要討論，而這里并非如此．

2．定義法

[例3]設集合M={直線}，P={圓}，則集合M∩P中的元素個數為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．0 　　B．1 　　C．2　 　D．0或1或2

[分析]本題考查集合的交集與并集的運算，是一道概念性極強的試題，可使用定義法求解．

[解]因集合M={直線}，P={圓}，集合M∩P中的元素既是直線且又是圓，顯然這樣的元素不存在，從而M∩P=，答案選A．

[點悟]①解題關鍵點是正確理解集合的交集與并集的運算及M∩P的意義．集合的交集是由既屬于集合A且又屬于集合B的公共元素組成的集合，它強調的是“且”的關系；并集是由屬于A或屬于集合B之一的元素組成的集合，它強調的是“或”的關系．

②解題規律：定義法解題的一般步驟為：(ⅰ)分析和研究所給問題中已知的條件和待求的解題目標；(ⅱ)回憶有關概念的內涵和要點；(ⅲ)用定義去指導解題活動．

③解題易錯點是將M∩P誤認為是直線與圓的交點個數問題，從而誤選D．本題若改為為常數，且a,b不同時為零}，，則M∩P中的元素個數應為0或1或2．

[例4]已知集合A={a，b，c，d}，B={a²，b²，c²，d²}，其中A?N^*，B?N^*，a<b<c<d，且A∩B={a,d}，a+d=10．

　 (1)求a、d；

　 (2)若A∪B中所有元素的和為124，你能確定集合A、B中的所有元素嗎？

　　　 [分析](1)根據交集的意義及其題設，求解出a，d．

(2)由A∩B中的元素個數為2，而A與B的元素個數均為4個可知：A∪B中共有6個元素，且其中有四個元素分別為1，3，9，81，而另兩個元素分別為x與x²．一個未知數，還有一個和的條件，可以求解x，進而可求得集合A與B．

[解](1)因A∩B={a,d}，且a<b<c<d，于是 a= a²，解得 a=1(a=0，不合，舍去)，從而 d=9．

(2)A={1,b,c,9}，B={1,b²,c²,81}．

　　　 因 A∩B={1,9}，故 3∈A，9∈B．

　　　 于是可設A={1，3，9，x}，B={1，9，81，x²}，其中x<9．

　　　 依題設有　 1+3+9+x+81+ x²=124， 解得 x=5(x= -6，不合，舍去)．

　　　 故 A={1，3，5，9}，B={1，9，25，81}．

　　　 [點悟]①解題關鍵點是熟練掌握利用集合元素的三大特性(即集合元素的互異性、無序性、確定性)進行解題．

②解題規律：對于遞進型的綜合問題，應采取各個“擊破”，“分而治之”，直至“殲滅”的辦法．

③解題易錯點求集合的并運算，不是兩個集合所有元素的簡單迭加；另外容易忽視集合元素的互異性，即相同的元素在一個集合中只算一個元素．

[例5]在下列電路圖中，閉合開關A是燈泡B亮的什么條件：

圖1 (1)中，開關A閉合是燈泡B亮的　　 　　　條件；

　　　 圖1 (2)中，開關A閉合是燈泡B亮的　　　 　　　條件；

　　　 圖1 (3)中，開關A閉合是燈泡B亮的　　　　　 條件；

　　　 圖1 (4)中，開關A閉合是燈泡B亮的　　　　　 條件．

[分析]首先根據電路的串并聯知識，分析開關A閉合是否有燈泡B亮，然后根據充分而不必要條件、必要而不充分條件、充要條件的含義作答．

[解](1)開關A閉合，燈泡B亮；反之，燈泡B亮，開關A閉合，于是開關A閉合是燈泡B亮的充要條件．

(2)僅當開關A、C都閉合時，燈泡B才亮；反之，燈泡B亮，開關A必須閉合，故開關A閉合是燈泡B亮的必要而不充分條件．

(3)開關A不起任何作用，故開關A閉合是燈泡B亮的既不充分又不必要條件．

(4)開關A閉合，燈泡B亮；但燈泡B亮，只須開關A或B閉合，故開關A閉合是燈泡B亮的充分而不必要條件．

[點悟]①解題關鍵點是正確理解充分與必要條件的含義，讀懂圖形語言，并掌握一些物理學知識特別是簡單的電學知識，進行電路圖的正確分析．

②“學以致用”已不是什么口號．重視知識的綜合，體現時代的特點，滲透素質教育的內含，是一種大勢所趨．

③解題易錯點是對條件的充分與必要性區分不清，不能正確地讀懂電路圖．

1．化歸與轉化

[例1]已知集合A={2，3，5，6，8}，B={1，3，5，7，10}．集合C滿足：①若將C中的各元素均減2，則新集合C₁就變為A的一個子集；②若將C中的各元素均加3，則新集合C₂就變為B的一個子集；③C中的元素可以是一個一元二次方程的不等實數根．試根據以上條件，用列舉法表示集合C．

[分析]本小題重點檢測文字語言向符號語言轉換的能力．條件③即就是集合C中的元素個數為2．從子集的定義出發，并將條件①、②分別轉換成另一種表述方式，可使問題順利求解．

[解]將①換一種說法，即若將A中的各個元素均加2，得新集合A₁，則CA₁，即C{4，5，7，8，10}；將②換一種說法，即若將B中的各個元素均減3，得新集合B₁，則CB₂，即C{-2，0，2，4，7}．于是C({4，5，7，8，10}∩{-2，0，2，4，7})={4，7}．又由條件③知，集合C中的元素恰有兩個，于是C={4，7}．

　　　 [點悟]①解題關鍵點是正確地將文字語言翻譯成集合語言(或符號語言)．

②解題規律是當直接求解不易時，可考慮問題的反面或換一種表述方式，如本題中將“C₁為A的子集”換為“C₁A”，再換為“CA₁”；將“C₂為B的子集”換為“C₂B”，再換為“CB₂”，這樣迅速地破解了問題．

③本題的一個拓廣是：將條件③去掉，則問題便是求集合{4，7}的非空子集(想一想：為什么集合C不能為空集)，答案為{4}，或{7}或{4，7}．

[例2]設A=，B=．

(1)若A∩B=B，試求實數a，b所滿足的條件；

(2)若A∪B=B，試求實數a，b所滿足的條件．

[分析]利用A∩B=B與BA的等價性及A∪B=B與AB的等價性將問題進行轉化，注意分類討論思想的運用．

[解]解方程，得 x= -3或x=6，于是A={-3，6}．

(1)因A∩B=B，故BA，即B{-3，6}，從而B=，或B={-3}，或B={6}，或B={-3，6}．

若B=，則方程無實數解，于是⊿=；

若B={-3}，即方程有相等的實數根且該根為x= -3．從而由韋達定理可得a= 6，b=9；

若B={6}，即方程有相等的實數根且該根為x= 6．從而由韋達定理可得a= -12，b=36；

若B={-3，6}，即方程的兩根為x= -3和 x=6．從而由韋達定理可得a= -3，b= -18．

綜合上面的討論可知，當A∩B=B時，或a= 6，b=9或a= -12，b=36或a= -3，b= -18．

(2)因A∪B=B，故AB，即{-3，6}B．又B為一元二次方程的解集，故B中的元素最多只有兩個，從而A=B，于是a= -3，b= -18．

[點悟]①解題關鍵點是善于將A∪B=B等價轉化為AB，將A∩B=B等價轉化為BA ．

②解題規律是當已知方程的兩不等實數根時，除可使用韋達定理求解a、b外，還可直接將兩根均代入方程得到關于a、b的二元方程組，然后求解方程組得出a、b的值；如方程只有唯一的一個實數根m，則：實數根m滿足方程且根的判別式為0．另外第(1)小題中的B={-3，6}的情形，也可這樣求解：因B=A，故方程x²-3x-18=0與方程等價，利用對應項系數成比例即得a= -3，b= -18．

③解題易錯點是遺漏空集亦滿足性質：A∩=；另外結論的表示混亂，如將第(1)小題的結論表示成a=6或a= -12或a= -3，b=9或b=36或b= -18，及．

25．設a>0，是R上的偶函數。

　 　(1)求a的值；

　　 (2)證明：f(x)在(0,+∞)上是增函數。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2001天津理(19))

24．對于函數f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)=x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點。已知函數f(x)=ax²+(b+1)x+(b-1) (a≠0)。

(1)當a=1,b=-2時，求函數f(x)的不動點；

(2)若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A、B兩點關于直線y=kx+1/(2a²+1)對稱，求b的最小值。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2002上海春招(22))