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19.(1)解：a₁=S₁=1;

當n≥2時，有a_n=S_n－S_n－1=n²－(n－1)²=2n－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

而a₁=1也適合①式，故數列{a_n}的通項公式為a_n=2n－1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(2)證明：T_n=,由錯位相減法得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 10分

∴T_n＜1－＜1.(亦可用數學歸納法證明)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 12分

∵0≤x≤,∴≤x+≤.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

結合函數y=－和y=sin(x+)的圖象，易知≤－<1.

∴－2<a≤－就是所求.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

(2)∵x∈［0, ］,∴當－2<a≤－時，函數圖象關于直線x=對稱，故x₁+x₂=.

12分

18.解：由|1－|≤2得－2≤x≤10　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

非p:A={x|x>10或x<－2}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

因m<0,由x²－2x+1－m²>0(m<0)得

命題q:B={x|x<1+m或x>1－m}　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

又因為非p是q的充分非必要條件，所以AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

所以,得－3≤m<0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 12分

16.④⑤

15.y=－cos(2x－)(答案不惟一，只要符合題意均給滿分)

22.(本小題滿分14分)

已知f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數，且f(1)=1,若a,b∈［－1,1］,a+b≠0時，有＞0.

(1)判斷函數f(x)在［－1，1］上是增函數，還是減函數，并證明你的結論；

(2)解不等式：f(x+)＜f();

(3)若f(x)≤m²－2pm+1對所有x∈［－1,1］,p∈［－1,1］(p是常數)恒成立，求實數m的取值范圍.

高三數學(理)全國統一標準測試(一)答案

21.(本小題滿分12分)

已知數列{a_n}中，a₁=14,a₂=2,且滿足a_n+2－2a_n+1+a_n=0(n∈N^*)

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)設S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|,求S_n;

(3)設b_n=,T_n=b₁+b₂+…+b_n.是否存在最大整數m,使得任意n∈N^*,均有T_n>.

20.(本小題滿分12分)

我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價格調控等手段來達到節約用水的目的.某市用水收費的方法是：水費=基本費+超額費+損耗費.

若每戶用量不超過最低限量a(m³)時，只付基本費8元和每戶每月的定額損耗費c元；若用水量超過a(m³)時，除了付同上的基本費和損耗費外，超過部分每1 m³付b元的超額費.已知每戶每月的定額損耗費不超過5元.

該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費用如下表所示：

(1)請根據上表中的數據，求a,b,c的值；

(2)寫出某戶在一個月中的水費y元與在這個月中的用水量x(m³)的函數關系式.

19.(本小題滿分12分)

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²;設b_n=,記數列{b_n}的前n項和為T_n.

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)證明：T_n<1.

18.(本小題滿分12分)

已知命題p:{x||1－|≤2,x∈R},和命題q:{x|x²－2x+1－m²>0,m<0,x∈R},若非p是q的充分非必要條件，求實數m的取值范圍.

17.(本小題滿分12分)

設sinx+cosx+a=0在［0，］內有且只有兩個x的值x₁和x₂使等式成立.

(1)求常數a的取值范圍；

(2)求x₁+x₂的值.