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1．化歸與轉化 [例1]已知集合A={2.3.5.6.8}.B={1.3.5.7.10}．集合C滿足:①若將C中的各元素均減2.則新集合C1就變為A的一個子集,②若將C中的各元素均加3.則新集合C2就變為B的一個子集,③C中的元素可以是一個一元二次方程的不等實數根．試根據以上條件.用列舉法表示集合C． [分析]本小題重點檢測文字語言向符號語言轉換的能力．條件③即就是集合C中的元素個數為2．從子集的定義出發.并將條件①.②分別轉換成另一種表述方式.可使問題順利求解． [解]將①換一種說法.即若將A中的各個元素均加2.得新集合A1.則CA1.即C{4.5.7.8.10},將②換一種說法.即若將B中的各個元素均減3.得新集合B1.則CB2.即C{-2.0.2.4.7}．于是C({4.5.7.8.10}∩{-2.0.2.4.7})={4.7}．又由條件③知.集合C中的元素恰有兩個.于是C={4.7}． [點悟]①解題關鍵點是正確地將文字語言翻譯成集合語言． ②解題規律是當直接求解不易時.可考慮問題的反面或換一種表述方式.如本題中將“C1為A的子集換為“C1A .再換為“CA1 ,將“C2為B的子集換為“C2B .再換為“CB2 .這樣迅速地破解了問題． ③本題的一個拓廣是:將條件③去掉.則問題便是求集合{4.7}的非空子集(想一想:為什么集合C不能為空集).答案為{4}.或{7}或{4.7}． [例2]設A=.B=． (1)若A∩B=B.試求實數a.b所滿足的條件, (2)若A∪B=B.試求實數a.b所滿足的條件． [分析]利用A∩B=B與BA的等價性及A∪B=B與AB的等價性將問題進行轉化.注意分類討論思想的運用． [解]解方程.得 x= -3或x=6.于是A={-3.6}． (1)因A∩B=B.故BA.即B{-3.6}.從而B=.或B={-3}.或B={6}.或B={-3.6}．若B=.則方程無實數解.于是⊿=, 若B={-3}.即方程有相等的實數根且該根為x= -3．從而由韋達定理可得a= 6.b=9, 若B={6}.即方程有相等的實數根且該根為x= 6．從而由韋達定理可得a= -12.b=36, 若B={-3.6}.即方程的兩根為x= -3和 x=6．從而由韋達定理可得a= -3.b= -18．綜合上面的討論可知.當A∩B=B時.或a= 6.b=9或a= -12.b=36或a= -3.b= -18． (2)因A∪B=B.故AB.即{-3.6}B．又B為一元二次方程的解集.故B中的元素最多只有兩個.從而A=B.于是a= -3.b= -18． [點悟]①解題關鍵點是善于將A∪B=B等價轉化為AB.將A∩B=B等價轉化為BA ． ②解題規律是當已知方程的兩不等實數根時.除可使用韋達定理求解a.b外.還可直接將兩根均代入方程得到關于a.b的二元方程組.然后求解方程組得出a.b的值,如方程只有唯一的一個實數根m.則:實數根m滿足方程且根的判別式為0．另外第(1)小題中的B={-3.6}的情形.也可這樣求解:因B=A.故方程x2-3x-18=0與方程等價.利用對應項系數成比例即得a= -3.b= -18． ③解題易錯點是遺漏空集亦滿足性質:A∩=,另外結論的表示混亂.如將第(1)小題的結論表示成a=6或a= -12或a= -3.b=9或b=36或b= -18.及．【查看更多】

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