新課程同步學案八年級數學上冊北師大版
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【問題】如圖1-1,已知長方體的長AC=2,寬BC=1,高AA'=4。一只螞蟻如果沿長方體的表面從點A爬到點B',那么它爬行的最短路程是多少?
答案：5
解析：將長方體表面展開，有三種情況：
1. 展開前面和上面：此時直角邊分別為 $AC + BC = 2 + 1 = 3$，高 $AA' = 4$，路程為 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
2. 展開前面和右面：直角邊分別為 $AC = 2$，$BC + AA' = 1 + 4 = 5$，路程為 $\sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}$。
3. 展開左面和上面：直角邊分別為 $BC = 1$，$AC + AA' = 2 + 4 = 6$，路程為 $\sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{37}$。
比較得最短路程為5。
【理解問題】(1)在這個問題中,已知條件有哪些?
答案：長方體的長AC=2，寬BC=1，高AA'=4。
【理解問題】(2)螞蟻沿表面爬行的最短路線可能有幾條?請你用長方體實際感受一下。
答案：3條
【擬訂計劃】(1)利用勾股定理解決最短路線問題的依據是什么?
答案：兩點之間線段最短，將幾何體表面展開為平面圖形后，兩點間的線段長即為最短路線，再用勾股定理計算。
【擬訂計劃】(2)解決最短路線問題的一般步驟是什么?
答案：1. 將幾何體表面展開成平面圖形；2. 在展開圖中標出兩點位置；3. 連接兩點，利用勾股定理計算線段長度；4. 比較不同展開方式下的線段長度，確定最短路線。
【實施計劃】(1)畫出長方體表面的展開圖的形狀,以及與長方體的對應關系。
答案：（展開圖略，需包含三種不同展開方式：前面和上面、前面和右面、左面和上面）
【實施計劃】(2)在圖中標出點A,B'的位置。
答案：（在展開圖中相應位置標出A、B'）
【實施計劃】(3)在圖中確定A,B'兩點之間最短的路線,并計算它的長度。
答案：5
解析：同【問題】解答過程，最短路程為5。
