題目列表(包括答案和解析)
27.(2009寧夏海南卷文)(本小題滿分12分)某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)(稱為A類工人)，另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱為B類工人).現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類，B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)).
(1)A類工人中和B類工人各抽查多少工人？
(2)從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2
表1：
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生產(chǎn)能力分組 |
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人數(shù) |
4 |
8 |
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5 |
3 |
表2：
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生產(chǎn)能力分組 |
|
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|
|
|
人數(shù) |
6 |
y |
36 |
18 |
(1)先確定
，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言，A類工人中
個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更��？(不用計(jì)算，可通過(guò)觀察
直方圖直接回答結(jié)論)
(2)分別估計(jì)
類工人和
類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人和生產(chǎn)能力的平
均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)。
解 (1)類工人中和類工人中分別抽查25名和75名.
(2)(ⅰ)由
，得
，
，得
.
頻率分布直方圖如下
從直方圖可以判斷：類工人中個(gè)體間的差異程度更小.
(2) 
，
，
A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全廠工人生產(chǎn)能力的平均
數(shù)的估計(jì)值分別為123，133.8和131.1.
2005-2008年高考題
26.(2009遼寧文)(本小題滿分12分)某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在(29.94，30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品。從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中個(gè)抽出500件，量其內(nèi)徑尺寸，的結(jié)果如下表：
甲廠
試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；
(1)由于以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面
列聯(lián)表，并問(wèn)是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”。
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甲 廠 |
乙 廠 |
合計(jì) |
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優(yōu)質(zhì)品 |
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非優(yōu)質(zhì)品 |
|
|
|
|
合計(jì) |
|
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附：
解 (1)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為
；
乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為
(2)
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甲廠 |
乙廠 |
合計(jì) |
|
優(yōu)質(zhì)品 |
360 |
320 |
680 |
|
非優(yōu)質(zhì)品 |
140 |
180 |
320 |
|
合計(jì) |
500 |
500 |
1000 |
所以有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”。
25.(2009寧夏海南卷理)(本小題滿分12分)某工廠有工人1000名， 其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)(稱為A類工人)，另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱為B類工人)，現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類、B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))。
(1)求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為A類工人，乙為B類工人；
(2)從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽插結(jié)果分別如下表1和表2.
表1
|
生產(chǎn)能力分組 |
|
|
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人數(shù) |
4 |
8 |
|
5 |
3 |
表2
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生產(chǎn)能力分組 |
|
|
|
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|
人數(shù) |
6 |
y |
36 |
18 |
(1)先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更��？(不用計(jì)算，可通過(guò)觀察直方圖直接回答結(jié)論)
(2)分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
解 (1)甲、乙被抽到的概率均為
，且事件“甲工人被抽到”與事件“乙工人被抽到”相互獨(dú)立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率為
.
(2)(i)由題意知A類工人中應(yīng)抽查25名，B類工人中應(yīng)抽查75名.
故
，得，，得 .
頻率分布直方圖如下
從直方圖可以判斷：B類工人中個(gè)體間的關(guān)異程度更小 .
(ii) 
，
，
A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的
平均數(shù)的會(huì)計(jì)值分別為123，133.8和131.1 .
24.(2009全國(guó)卷Ⅱ理)(本小題滿分12分)某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核。
(1)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；
(I2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(3)記
表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。
分析 (1)這一問(wèn)較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是把握題意，理解分層抽樣的原理即可。另外要注意
此分層抽樣與性別無(wú)關(guān)。
(2)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，這一問(wèn)處理起來(lái)也并不困難。
從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率
(3)的可能取值為0，1，2，3
，
，
，
分布列及期望略.
評(píng)析：本題較常規(guī)，比08年的概率統(tǒng)計(jì)題要容易。在計(jì)算
時(shí)，采用分類的方
法，用直接法也可，但較繁瑣，考生應(yīng)增強(qiáng)靈活變通的能力。
23.(2009天津卷文)(本小題滿分12分)為了了解某工廠開(kāi)展群眾體育活動(dòng)的情況，擬采
用分層抽樣的方法從A，B,C三個(gè)區(qū)中抽取7個(gè)工廠進(jìn)行調(diào)查，已知A,B，C區(qū)中分別有18，27，18個(gè)工廠
(Ⅰ)求從A,B,C區(qū)中分別抽取的工廠個(gè)數(shù)；
(Ⅱ)若從抽取的7個(gè)工廠中隨機(jī)抽取2個(gè)進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對(duì)比，用列舉法計(jì)算這2個(gè)
工廠中至少有1個(gè)來(lái)自A區(qū)的概率。
解 (1)工廠總數(shù)為18+27+18=63，樣本容量與總體中的個(gè)體數(shù)比為
，所以從
A,B,C三個(gè)區(qū)中應(yīng)分別抽取的工廠個(gè)數(shù)為2，3，2.
(2)設(shè)
為在A區(qū)中抽得的2個(gè)工廠，
為在B區(qū)中抽得的3個(gè)工廠，
為在C區(qū)中抽得的2個(gè)工廠，這7個(gè)工廠中隨機(jī)的抽取2個(gè)，全部的可能結(jié)果
有：
種，隨機(jī)的抽取的2個(gè)工廠至少有一個(gè)來(lái)自A區(qū)的結(jié)果有
，
,同理
還能組合5種，一共有11種.
所以所求的概率為
[考點(diǎn)定位]本小題主要考查分層抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事
件發(fā)生的概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用統(tǒng)計(jì)、概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
22.(2009安徽卷文)(本小題滿分12分)某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A，將
其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單
位：千克)如下：
品種A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，
415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454
品種B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397
397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430
(Ⅰ)完成所附的莖葉圖
(Ⅱ)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？
(Ⅲ)通過(guò)觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫(xiě)出統(tǒng)計(jì)結(jié)論。
思路
由統(tǒng)計(jì)知識(shí)可求出A、B兩種品種的小麥穩(wěn)定性大小并畫(huà)出莖葉圖，用莖葉圖處理數(shù)據(jù)，看其分布就比較明了。
解析 (1)莖葉圖如圖所示
|
A |
|
B |
|
9 7 |
35 |
|
|
8 7 |
36 |
3 |
|
5 |
37 |
1 4 |
|
8 |
38 |
3 5 6 |
|
9 2 |
39 |
1 2 4 457 7 |
|
5 0 |
40 |
0 1 1 3 6 7 |
|
5 4 2 |
41 |
0 2 5 6 |
|
7 3 3 1 |
42 |
2 |
|
4 0 0 |
43 |
0 |
|
5 5 3 |
44 |
|
|
4 1 |
45 |
|
(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不僅可以看出數(shù)據(jù)的分布狀況,而且可以看出每組中的具
體數(shù)據(jù).
(3)通過(guò)觀察莖葉圖，可以發(fā)現(xiàn)品種A的平均每畝產(chǎn)量為411.1千克，品種B的平均畝
產(chǎn)量為397.8千克.由此可知,品種A的平均畝產(chǎn)量比品種B的平均畝產(chǎn)量高.但品種A的
畝產(chǎn)量不夠穩(wěn)定，而品種B的畝產(chǎn)量比較集中D平均產(chǎn)量附近.
21.(2009全國(guó)卷Ⅱ文)(本小題滿分12分)某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；
乙組有10名工人，其中有6名女工人。現(xiàn)采用分層抽樣(層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨即抽樣)從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核。
(1)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；
(2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。
解析 本題考查概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，要求有正確理解分層抽樣的方法及利用分類原理處理事件概率的能力，第一問(wèn)直接利用分層統(tǒng)計(jì)原理即可得人數(shù)，第二問(wèn)注意要用組合公式得出概率，第三問(wèn)關(guān)鍵是理解清楚題意以及恰有2名男工人的具體含義，從而正確分類求概率.
解 (1)由于甲、乙兩組各有10名工人，根據(jù)分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽
取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核，則從每組各抽取2名工人.
(2)記表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則
(3)
表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有
名男工人，
表示事件：從乙組抽取的2名工人中恰有
名男工人，
表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。
與
獨(dú)立，
，且
故
20.(2009山東卷文)(本小題滿分12分)一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):
|
|
轎車A |
轎車B |
轎車C |
|
舒適型 |
100 |
150 |
z |
|
標(biāo)準(zhǔn)型 |
300 |
450 |
600 |
按類型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.
(1)求z的值.
(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;
(3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.
解 (1)設(shè)該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛,由題意得,
,所以n=2000.
z=2000-100-300-150-450-600=400
(2)設(shè)所抽樣本中有m輛舒適型轎車,因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ贑類轎車中抽取一個(gè)容量
為5的樣本,所以
,解得m=2也就是抽取了2輛舒適型轎車,3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車,分
別記作S1,S2;B1,B2,B3,則從中任取2輛的所有基本事件為(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1),
(S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10個(gè),其中至少有1輛舒適型轎車的基本
事件有7個(gè)基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以從中任取
2輛,至少有1輛舒適型轎車的概率為
.
(3)樣本的平均數(shù)為
,
那么與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的數(shù)為9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0這6個(gè)數(shù),總的個(gè)數(shù)為8,所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率為
.
[命題立意]本題為概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)內(nèi)容,涉及到分層抽樣以及古典概型求事件的概率
問(wèn)題.要讀懂題意,分清類型,列出基本事件,查清個(gè)數(shù).,利用公式解答.
19.(2009廣東卷理)(本小題滿分12分)
根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API(為整數(shù))的不同，可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表：
對(duì)某城市一年(365天)的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間
，
，
，
，
，
進(jìn)行分組，得到頻率分布
直方圖如圖5.
(1)求直方圖中的值；
(2)計(jì)算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù)；
(3)求該城市某一周至少有2天的空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率.
(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示．已知
，
，
，
)
解 (1)由圖可知
，解得
；
(2)
；
(3)該城市一年中每天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為
，則空氣質(zhì)量不為良且不為輕微污染的概率為 
，一周至少有兩天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為
.
18.(2009年廣東卷文)(本小題滿分13分)
隨機(jī)抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué),測(cè)量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖
如圖7.
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高;
(2)計(jì)算甲班的樣本方差
(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于
173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率.
解析 (1)由莖葉圖可知：甲班身高集中于
之間，而乙班身高集中于
之間。因此乙班平
均身高高于甲班;
(2) 
甲班的樣本方差為
＝57
(3)設(shè)身高為176cm的同學(xué)被抽中的事件為A；
從乙班10名同學(xué)中抽中兩名身高不低于173cm的同學(xué)有：(181，173) (181，176)
(181，178) (181，179) (179，173) (179，176) (179，178) (178，173)
(178, 176) (176，173)共10個(gè)基本事件，而事件A含有4個(gè)基本事件；
��；
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