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題型1：求最大公約數(shù)

例1．(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求123和48的最大公約數(shù)？

(2)用更相減損來求80和36的最大公約數(shù)？

解析：(1)輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過程如下：(建立帶余除式)

　123＝2×48+27

　48＝1×27+21

　27＝1×21+6

　21＝3×6+3

　6＝2×3+0

最后6能被3整除，得123和48的最大公約數(shù)為3。

(2)分析：我們將80作為大數(shù)，36作為小數(shù)，執(zhí)行更相減損術(shù)來求兩數(shù)的最大公約數(shù)。執(zhí)行結(jié)束的準(zhǔn)則是減數(shù)和差相等

更相減損術(shù)：

因為80和36都是偶數(shù)，要去公因數(shù)2。

80÷2=40，36÷2=18；

40和18都是偶數(shù)，要去公因數(shù)2。

40÷2=20，18÷2=9

下面來求20與9的最大公約數(shù)，

20－9=11

11－9=2

9－2=7

7－2=5

5－2=3

3－2=1

2－1=1

可得80和36的最大公約數(shù)為2²×1=4。

點(diǎn)評：對比兩種方法控制好算法的結(jié)束，輾轉(zhuǎn)相除法是到達(dá)余數(shù)為0，更相減損術(shù)是到達(dá)減數(shù)和差相等。

例2．設(shè)計一個算法，求出840與1764的最大公因數(shù)。

解析：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過了對自然數(shù)的素因數(shù)分解的方法，下面的算法就是在此基礎(chǔ)上設(shè)計的。

解題思路如下：

首先對兩個數(shù)進(jìn)行素因數(shù)分解：

840=2³×3×5×7，1764=2²×3²×7²_，

其次，確定兩個數(shù)的公共素因數(shù)：2，3，7。

接著確定公共素因數(shù)的指數(shù)：對于公共素因數(shù)2，840中為2³，1764中為2²，應(yīng)取較少的一個2²，同理可得下面的因數(shù)為3和7。

算法步驟：

第一步：將840進(jìn)行素數(shù)分解2³×3×5×7；

第二步：將1764進(jìn)行素數(shù)分解2²×3²×7²；

第三步：確定它們的公共素因數(shù)：2，3，7；

第四步：確定公共素因數(shù)2，3，7的指數(shù)分別是：2，1，1；

第五步：最大公因數(shù)為2²×3¹×7¹=84。

點(diǎn)評：質(zhì)數(shù)是除1以外只能被1和本身整除的正整數(shù)，它應(yīng)該是無限多個，但是目前沒有一個規(guī)律來確定所有的質(zhì)數(shù)

題型2：秦九韶算法

例3．(2009福州模擬)如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的　　　　　　　　　　 (　　　 )

A．22　　　　　　　　　 B．46　　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．190

答案　 C

2、(2009浙江卷理)某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的　　

值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　 B．　　　　　 C．　　　　 D．

[解析]對于，而對于，則　

，后面是，不　

符合條件時輸出的．

答案 A

4．進(jìn)位制

(1)概念

進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制。現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。

對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：

，

而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001₍₂₎表示二進(jìn)制數(shù),34₍₅₎表示5進(jìn)制數(shù)。

(2)進(jìn)位制間的轉(zhuǎn)換

關(guān)于進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換，教科書上以十進(jìn)制和二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換為例講解，并推廣到十進(jìn)制和其它進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換。這樣做的原因是，計算機(jī)是以二進(jìn)制的形式進(jìn)行存儲和計算數(shù)據(jù)的，而一般我們傳輸給計算機(jī)的數(shù)據(jù)是十進(jìn)制數(shù)據(jù)，因此計算機(jī)必須先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，再處理，顯然運(yùn)算后首次得到的結(jié)果為二進(jìn)制數(shù)，同時計算機(jī)又把運(yùn)算結(jié)果由二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)輸出。

非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)比較簡單，只要計算下面的式子值即可：

第一步：從左到右依次取出k進(jìn)制數(shù)各位上的數(shù)字，乘以相應(yīng)的k的冪，k的冪從n開始取值，每次遞減1，遞減到0，即；

第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結(jié)果就是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)

把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進(jìn)制數(shù)的算法“除k取余法”。

非十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換

一個自然的想法是利用十進(jìn)制作為橋梁。教科書上提供了一個二進(jìn)制數(shù)據(jù)與16進(jìn)制數(shù)據(jù)之間的互化的方法，也就是先有二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，再由十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成為16進(jìn)制數(shù)。

7．將新數(shù)據(jù)列中的第7個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)49進(jìn)行比較，因為49<97，97應(yīng)下沉，所以順序改變，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65， 76， 13，97， 49，27}

我們把上述過程稱為一趟排序。其基本特征是最大的數(shù)據(jù)沉到底，即排在最左邊位置上的數(shù)據(jù)是數(shù)組中最大的數(shù)據(jù)。反復(fù)執(zhí)行上面的步驟，就能完成排序工作，排序過程不會超過7趟。這種排序的方法稱為冒泡排序。

上面的分析具有一般性，如果數(shù)據(jù)列有n個數(shù)據(jù)組成，至多經(jīng)過n－1趟排序，就能完成整個排序過程

6．將新數(shù)據(jù)列中的第6個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)27進(jìn)行比較，因為27<97，97應(yīng)下沉，所以順序改變，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

5．將新數(shù)據(jù)列中的第5個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)13進(jìn)行比較，因為13<97，97應(yīng)下沉，所以順序改變，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

4．將新數(shù)據(jù)列中的第4個數(shù)97與右邊相鄰的數(shù)76進(jìn)行比較，因為76<97，97應(yīng)下沉，所以順序不變，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65， 76，97，13，27，49}

3．將新數(shù)據(jù)列中的第3個數(shù)65與右邊相鄰的數(shù)97進(jìn)行比較，因為97>65，所以順序不變，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

2．將新數(shù)據(jù)列中的第2個數(shù)49與右邊相鄰的數(shù)65進(jìn)行比較，因為65>49，所以順序不變，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

1．將第1個數(shù)與右邊相鄰的數(shù)38進(jìn)行比較，因為38<49，49應(yīng)下沉，即向右移動，所以交換他們的位置，得到新的數(shù)據(jù)列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}