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22、如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4． 　　 (1)若在邊BC上存在一點Q，使PQ⊥QD，求a的取值范圍； 　(2)當BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD時，求異面直線AQ與PD所成角的大小； 　(3)若a＝4，且PQ⊥QD，求二面角A－PD－Q的大小．

解： 　

(1)、以為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則

　B(0，，0)，C(－a，，0)，D(－a，0，0)，P(0，0，4)　　

　　 設Q(t，，0)，則 ＝(t，，－4)，＝(t+a，，0) 　　 ∵PQ⊥QD，∴＝0　 即t²+at+3＝0　① 　∴△＝a²－12≥0　Þ　a≥2．　

(2)、∵BC上存在唯一點Q，使PQ⊥QD，　　

∴△＝a²－12＝0　Þ　a＝2，t＝－　

＝(－，，0) ，＝(－2，0，－4) 　∴cos 　故異面直線AQ與PD所成角為arccos．　　

(3)、過Q作QM∥CD交AD于M，則QM⊥AD，M(t，0，0) 　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM，又QM⊥AD，∴QM⊥平面PAD 　過M作MN⊥PD于N，連結NQ，由三垂線定理知QN⊥PD 　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角

設N (m，0，n)，則＝(t－m，0，－n)，＝(t－m，，－n) 　　 ＝(－4－m，0，－n) 　∵MN⊥PD，ND、PD共線，∴ 　　　　

得：m+n－t＝0，m－n＝4　② 　　　

由①得：t＝－1或t＝－3，由②得：n＝2+t

當t＝－1時，，當t＝－3時， 　

　∴二面角A－PD－Q的大小為或．　　　　　　

21、如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中點．

(1)求異面直線GE與PC所成的角； (2)求點D到平面PBG的距離； (3)若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值．

解：(1)解：以G點為原點，為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

　則B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，　 故E(1，1，0)　＝(1，1，0)，

＝(0，2，4)　　　 　

∴GE與PC所成的角為arccos．

　(2)解：平面PBG的單位法向量n＝(0，±1，0)　∵　　

　∴點D到平面PBG的距離為n |＝　　　　　　　　　　　　　　　　　

(3)解：設F(0，y，z)，則

　∵，∴， 　即，∴ 　　　又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)，∴z=1，

故F(0，，1)　 　，∴　　

20、如圖，已知點E是棱長為1的正方體的棱的中點，則點C到　 平面的距離等于　　　　　　　　 。

19、一個正方體的棱長為2，將八個直徑各為1的球放進去之后，正中央空間能放下的最大的球的直徑為　　　　　　 ．

18、

17、如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點M在棱AB上，且AM=，點P在平　 面ABCD上，且動點P到直線A₁D₁的距離的平方與P到點M的距離的平方的差為1，在xAy直角坐標系中，動點P的軌跡方程是　　　　　　　　 　.

16、在正三棱錐S-ABC中，側棱SC⊥側面SAB，側棱SC=，則此正三棱錐的外接球的表面積為　　　　　　

15、半球內有一內接正方體, 正方體的一個面在半球的底面圓內. 若正方體的棱長為, 則半球

的體積為　　 　　　　　　

14、長方體的長、寬、高分別為3cm、2cm、1cm，若該長方體的各頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為

　　 A．7　　　　 B．14　　　　 C．28　　　　 D．56

13、在下列命題中，真命題是

A.　直線都平行于平面，則

B.設是直二面角，若直線，則

C.若直線在平面內的射影依次是一個點和一條直線，且，則或

D.設是異面直線，若平面，則與相交