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5.已知|p|=,|q|=3, p與q的夾角為,則以a=5p+2q,b=p－3q為鄰邊的平行四邊形的一條對角線長為　 (　　 )

A.15　　　　　　　 B.　　　　　　　 C. 16　　　 　　　　D.14

4.化簡(a－b)－(2a+4b)+(2a+13b)的結果是　　 (　　 )

A.ab　　　　 B.0　 　　　　　　　　C. a+b　　　　 D. a－b

3. △ABC中,=a, =b,則等于　　　　　 (　　 )

A.a+b　　　　　　 B.-(a+b)　　　　　　 C.a-b　　　　　　　 D.b-a

2.與a=(4，5)垂直的向量是　　 (　　 　)

A.(-5k,4k)　　　 B. (-10，2)　　　　 C. ()　　　　　 D.(5k, -4k)

1. 若A(2，-1)，B(-1，3)，則的坐標是　　　 (　　 )

A.(1，2)　　　　 B.(-3，4)　　　　 C. (3，-4)　　　　 D. 以上都不對

常用的抽樣方法及它們之間的聯系和區別：

不放回抽樣和放回抽樣：在抽樣中，如果每次抽出個體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣。

隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣

題型1：統計概念及簡單隨機抽樣

例1．為調查參加運動會的1000名運動員的年齡情況，從中抽查了100名運動員的年齡，就這個問題來說，下列說法正確的是(　 )

A．1000名運動員是總體　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．每個運動員是個體

C．抽取的100名運動員是樣本　　　　　　　　　　　　　　　 D．樣本容量是100

解析：這個問題我們研究的是運動員的年齡情況，因此應選D。

答案：D

點評：該題屬于易錯題，一定要區分開總體與總體容量、樣本與樣本容量等概念。

例2．今用簡單隨機抽樣從含有6個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本。問：① 總體中的某一個體在第一次抽取時被抽到的概率是多少?② 個體不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少?③ 在整個抽樣過程中，個體被抽到的概率是多少?

解析：(1)，(2)，(3)。

點評：由問題(1)的解答，出示簡單隨機抽樣的定義，問題( 2 )是本講難點。基于此，簡單隨機抽樣體現了抽樣的客觀性與公平性

題型2：系統抽樣

例3．為了了解參加某種知識競賽的1003名學生的成績，請用系統抽樣抽取一個容量為50的樣本。

解析：(1)隨機地將這1003個個體編號為1，2，3，…，1003．

(2)利用簡單隨機抽樣，先從總體中剔除3個個體(可利用隨機數表)，剩下的個體數1000能被樣本容量50整除，然后再按系統抽樣的方法進行．

點評：總體中的每個個體被剔除的概率相等，也就是每個個體不被剔除的概率相等.采用系統抽樣時每個個體被抽取的概率都是，所以在整個抽樣過程中每個個體被抽取的概率仍然相等，都是。

例4．(2008年湖南理，15)

.對有n(n≥4)個元素的總體進行抽樣，先將總體分成兩個子總體

和 (m是給定的正整數，且2≤m≤n-2),再從

每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本.用表示元素i和j同時出現在樣

本中的概率，則=　　　　　 ; 所有 (1≤i＜j≤的和等于　　　　　 .

[答案]　 ,　 6

[解析]第二空可分:

①當 時, ;

②當 時, ;

③當時, ;

所以

點評：當總體中個體個數較多而差異又不大時可采用系統抽樣。采用系統抽樣在每小組內抽取時應按規則進行

(2009年廣東卷文)(本小題滿分13分)

隨機抽取某中學甲乙兩班各10名同學,測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數據的莖葉圖

如圖7.

(1)根據莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高;

(2)計算甲班的樣本方差

(3)現從乙班這10名同學中隨機抽取兩名身高不低于

173cm的同學,求身高為176cm的同學被抽中的概率.

解析　 (1)由莖葉圖可知：甲班身高集中于

之間，而乙班身高集中于 之間。因此乙班平

均身高高于甲班;

　　 (2)

　　 甲班的樣本方差為

　 ＝57

　 (3)設身高為176cm的同學被抽中的事件為A；

　 從乙班10名同學中抽中兩名身高不低于173cm的同學有：(181，173)　 (181，176)

　 (181，178) (181，179) (179，173) (179，176) (179，178)　 (178，173)

　 　(178,　 176)　　 (176，173)共10個基本事件，而事件A含有4個基本事件；

　　 　　；

題型3：分層抽樣

例5．(2009全國卷Ⅱ文)(本小題滿分12分)某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；

乙組有10名工人，其中有6名女工人。現采用分層抽樣(層內采用不放回簡單隨即抽樣)從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術考核

(1)求從甲、乙兩組各抽取的人數；

(2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率 　　

解析　 本題考查概率統計知識，要求有正確理解分層抽樣的方法及利用分類原理處理事件概率的能力，第一問直接利用分層統計原理即可得人數，第二問注意要用組合公式得出概率，第三問關鍵是理解清楚題意以及恰有2名男工人的具體含義，從而正確分類求概率.

解 (1)由于甲、乙兩組各有10名工人，根據分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽

取4名工人進行技術考核，則從每組各抽取2名工人.

(2)記表示事件：從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則　 　

(3)表示事件：從甲組抽取的2名工人中恰有名男工人，

表示事件：從乙組抽取的2名工人中恰有名男工人，

　表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。 　　

　與獨立， ，且

故

點評：本小題主要考查分層抽樣的概念和運算，以及運用統計知識解決實際問題的能力。

例6．甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生，為統計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為90人的樣本，應在這三校分別抽取學生(　 )

A．30人，30人，30人　　 B．30人，45人，15人

C．20人，30人，10人　　 D．30人，50人，10人

解析：B；

點評：根據樣本容量和總體容量確定抽樣比，最終得到每層中學生人數。

題型4：綜合問題

例7．(1)某公司在甲、乙、丙、丁四個地區分別有150個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調查產品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調查為①；在丙地區中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調查其銷售收入和售后服務情況，記這項調查為②.則完成①、②這兩項調查宜采用的抽樣方法依次是

A．分層抽樣法，系統抽樣法　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法

C．系統抽樣法，分層抽樣法　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法

分析：此題為抽樣方法的選取問題.當總體中個體較多時宜采用系統抽樣；當總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當總體中個體較少時，宜采用隨機抽樣.

依據題意，第①項調查應采用分層抽樣法、第②項調查應采用簡單隨機抽樣法.故選B.

答案：B

(2)某初級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現要利用抽樣方法抽取10人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統一編號為1，2，…，270；使用系統抽樣時，將學生統一隨機編號1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段.如果抽得號碼有下列四種情況：

　　　　 ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

　　　　 ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

　　　　 ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

　　　　 ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

　　　　 關于上述樣本的下列結論中，正確的是　　 ( 　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 A．②、③都不能為系統抽樣　　　　　　　　　　　　 B．②、④都不能為分層抽樣

C．①、④都可能為系統抽樣　　　 D．①、③都可能為分層抽樣

解析：D。

點評：采用什么樣的抽樣方法要依據研究的總體中的個體情況來定。

3．分層抽樣：當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層

結論：

(1)分層抽樣是等概率抽樣，它也是公平的。用分層抽樣從個體數為N的總體中抽取一個容量為的樣本時，在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，都等于；

(2)分層抽樣是建立在簡單隨機抽樣或系統抽樣的基礎上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它獲取的樣本更具有代表性，在實踐的應用更為廣泛

2．系統抽樣：當總體中的個數較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預先定出的規則，從每一部分抽取1個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統抽樣(也稱為機械抽樣)。

系統抽樣的步驟可概括為：

(1)將總體中的個體編號。采用隨機的方式將總體中的個體編號；

(2)將整個的編號進行分段。為將整個的編號進行分段，要確定分段的間隔.當是整數時，；當不是整數時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的個體數N´能被整除，這時；

(3)確定起始的個體編號。在第1段用簡單隨機抽樣確定起始的個體邊號；

(4)抽取樣本。按照先確定的規則(常將加上間隔)抽取樣本：。

三種常用抽樣方法：

1．簡單隨機抽樣：設一個總體的個數為N。如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣。實現簡單隨機抽樣，常用抽簽法和隨機數表法

(1)抽簽法

制簽：先將總體中的所有個體編號(號碼可以從1到N)，并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上，號簽可以用小球、卡片、紙條等制作，然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌；

抽簽：抽簽時，每次從中抽出1個號簽，連續抽取次；

成樣：對應號簽就得到一個容量為的樣本。

抽簽法簡便易行，當總體的個體數不多時，適宜采用這種方法

(2)隨機數表法

編號：對總體進行編號，保證位數一致；

數數：當隨機地選定開始讀數的數后，讀數的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在讀數過程中，得到一串數字號碼，在去掉其中不合要求和與前面重復的號碼后，其中依次出現的號碼可以看成是依次從總體中抽取的各個個體的號碼。

成樣：對應號簽就得到一個容量為的樣本

結論：

　 ① 用簡單隨機抽樣，從含有N個個體的總體中抽取一個容量為的樣本時，每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為；

② 基于此，簡單隨機抽樣體現了抽樣的客觀性與公平性；

③ 簡單隨機抽樣的特點：它是不放回抽樣；它是逐個地進行抽取；它是一種等概率抽樣。