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2．球的軸截面是大圓，它含有球的全部元素，所以有關球的計算，可作出球的一個大圓，化“球”為“圓”來解決問題．

1．因為“球”是“圓”在空間概念上的延伸，所以研究球的性質時，應注意與圓的性質類比．

3．球的表面積公式和體積公式：設球的半徑為R，則球的表面積S＝　　 　　　；球的體積V＝　　　　 ．

例1. 如圖，A、B、C是半徑為1的球面上的三點，B、C兩點間的球面距離為，點A與B、C兩點的球面距離都為，O為球心，求：

(1) 的大小；　　　　　　　　

(2) 球心O到截面ABC的距離．

解：(1) 因為B、C兩點的球面距離為，即B、C兩點與球心連線所夾圓心角為，點A與B、C兩點的球面距離都為，即均為直角，所以

(2) 因為⊿BOC，⊿ABC都是等腰三角形，取BC的中點M，連OM，AM，過O作OH⊥AM于H，可證得OH即為O到截面ABC的距離．

變式訓練1：　 球面上有三點A、B、C，A和B及A和C之間的球面距離是大圓周長的，B和C之間的球面距離是大圓周長的，且球心到截面ABC的距離是，求球的體積．

解：設球心為O，由已知，易得∠AOB＝∠AOC＝，∠BOC＝，過O作OD⊥BC于D，連AD，再過O作OE⊥AD于E，則OE⊥平面ABC于E，∴OE＝. 在Rt△AOD中，由AD·OE＝AO·ODOA＝R＝1.∴ V球＝πR3＝π．

例2. 如圖，四棱錐A－BCDE中，，且AC⊥BC，AE⊥BE．

(1) 求證：A、B、C、D、E五點都在以AB為直徑的同一球面上；

(2) 若求B、D兩點間的球面距離．

解：(1) 因為AD⊥底面BCDE，所以AD⊥BC，AD⊥BE，又因為AC⊥BC，AE⊥BE，所以BC⊥CD，BE⊥ED．故B、C、D、E四點共圓，BD為此圓的直徑．

取BD的中點M，AB的中點N，連接BD、AB的中點MN，則MN∥AD，所以MN⊥底面BCDE，即N的射影是圓的圓心M，有AM＝BM＝CM＝DM＝EM，故五點共球且直徑為AB．

(2) 若∠CBE＝90°，則底面四邊形BCDE是一個矩形，連接DN，因為：

所以B、D兩點間的球面距離是.

變式訓練2：過半徑為R的球面上一點M作三條兩兩互相垂直的弦MA、MB、MC．

(1) 求證：MA²+MB²+MC²為定值；

(2) 求△MAB，△MAC，△MBC面積之和的最大值．

解：(1) 易求得MA²+MB²+MC²＝4R^2！

(2) S_△MAB+S_△MAC+S_△MBC＝(MA·MB+MA·MC+MB·MC)≤(MA²+MB²+MC²)＝2R²(當且僅當MA＝MB＝MC時取最大值).

例3.棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面(如圖)，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是(　　 )

A．　　　　　　　　　　

B．

C．　　　　　　　　　　

D．

解：設正四面體為正四面體ABCD，分析截面圖可知，截面經過正四面體的一條棱設為CD，又過球心，設截面與棱AB交于E點，則E為AB的中點，易求得截面三角形的面積為，

故選(C)．

變式訓練3：已知三棱錐P－ABC中，E、F分別是AC、AB的中點，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.

(1) 證明：PC⊥平面PAB；

(2) 求二面角P－AB－C的平面角的余弦值；

(3) 若點P、A、B、C在一個表面積為12π的球面上，求△ABC的邊長.

解 (1) 連結CF，∵PE＝EF＝BC＝AC　 ∴AP⊥PC　 ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF　 ∵AC平面PCF　 ∴PC⊥AB　 ∴PC⊥平面PAB.

(2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF　 ∴∠PFC為所求二面角的平面角

設AB＝a, 則PF＝EF＝, CF＝,

∴cos∠PFC＝.

(3) 設PA＝x, 球半徑為R　

∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB　

∵4πR²＝12π, ∴R＝, 知△ ABC的外接圓為球之小圓，由x²＝x·2R.

得△ABC的邊長為2.

2．球的性質

(1) 用一個平面去截一個球，截面是　　　　　　 ．

(2)球心和截面圓心的連線　　　　　　 于截面．

(3) 球心到截面的距離與球半徑及截面的半徑有以下關系：　　　　　　　　 ．

(4) 球面被經過球心的平面截得的圓叫　　　　 ．被不經過球心的平面截得的圓叫　　　　　　　　 ．

(5) 在球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧長，這個弧長叫　　　　　　　　　 ．

1．球：與定點的距離　　　　 或　　　　　 定長的點的集合．

3．在解正棱錐問題時，要注意利用四個直角三角形，其中分別含有九個元素(側棱、高、側棱與斜高在底面上的射影、側棱與側面與底面所成角、邊心距以及底面邊的一半)中的三個，已知兩個可求另一個．

第11課時　　 　　球

2．要從底面、側面、棱(特別是側棱)和截面(對角面及平行于底面的截面)四個方面掌握幾何性質，能應用這些性質研究線面關系．

1．要準確理解棱柱、棱錐的有關概念，弄清楚直棱柱、正棱錐概念的內涵和外延．

4．正棱錐的性質：

① 正棱錐各側棱　　　　 ，各側面都是　　　 的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高　　　　 (它叫做正棱錐的　　　　 )；

② 正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個　　　　 三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的射影組成一個　　　　 三角形．

	典型例題

例1．已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，AB＝1，AA₁＝2，

點E為CC₁的中點，點F為BD₁的中點.

⑴ 證明：EF為BD₁與CC₁的公垂線；

⑵ 求點F到面BDE的距離.

答案(1)略；　 (2)

變式訓練1：三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝a，

BC、AC、AA₁長均為a，A₁在底面ABC上的射影O在AC上．

⑴ 求AB與側面AC₁所成的角；

⑵ 若O點恰是AC的中點，求此三棱柱的側面積．

答案(1) 45°；(2)

例2. 如圖，正三棱錐P-ABC中，側棱PA與底面ABC成60°角．

(1)求側PAB與底面ABC成角大小；

(2)若E為PC中點，求AE與BC所成的角；

(3)設AB＝，求P到面ABC的距離．

解：(1)；

(2)取PB中點F，連結EF，則∠AEF為所求的角，求得∠AEF＝；

(3)P到平面ABC的距離為．

變式訓練2： 四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.

(1)求證：AO⊥平面BCD；

(2)求異面直線AB與CD所成的角；

(3)求點E到平面ACD的距離．

答案：(1)易證AO⊥BD，AO⊥OC，∴AO⊥平面BCD；

(2)；(3)用等體積法或向量法可求得點E到平面ACD的距離是．

例3. 四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，∠DAB＝45°；側面PAD是等腰直角三角形，AP＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．

⑴ 求證：PA⊥BD；

⑵ 求PB與底面ABCD所成角的正切值；

⑶ 求直線PD與BC所成的角．

答案：(1)略；(2)；(3)60°

變式訓練3：在所有棱長均為a的正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D為BC的中點．

　　 ⑴ 求證：AD⊥BC₁；

⑵ 求二面角A－BC₁－D的大小；

⑶ 求點C到平面ABC₁的距離．

提示：(1)證AD⊥平面BB₁C₁C；(2) arc tan；(3) a．

例4．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC₁＝1，M為AB的中點，A₁D＝3DB₁．

(1)求證：平面CMD⊥平面ABB₁A₁；

(2)求點A₁到平面CMD的距離；

(3)求MD與B₁C₁所成角的大小．

提示(1)轉證CM⊥平面A₁B；

(2)過A₁作A₁E⊥DM，易知A₁E⊥平面CMD，∴求得A₁E＝1；

(3)異面直線MD與B₁C₁所成的角為

變式訓練4：在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AD＝1，AB＝，O為對角線A₁C的中點．

⑴ 求OD與底面ABCD所成的角的大小；

⑵ P為AB上一動點，當P在何處時，平面POD⊥平面A₁CD？并證明你的結論．

答案(1) 30°；(2) 當P為AB的中點時，平面POD⊥平面A₁CD．

柱體和錐體是高考立體幾何命題的重要載體，因此，在學習時要注意以下三點．

3．正棱錐的定義：如果一個棱錐的底面是　　　 多邊形，且頂點在底面的射影是底面的　　　　 ，這樣的棱錐叫做正棱錐．