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1．sin (–270°) = (　 )

A．–1　　　　　　　　　　　　 B．0　　　　　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　　　 D．–

21．(本小題滿分13分)

定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．已知無窮等比數列的首項和公比均為．

　 (1)試求無窮等比子數列()各項的和；

　 (2)已知數列的一個無窮等比子數列各項的和為，求這個子數列的通項公式；

(3)證明：在數列的所有子數列中，不存在兩個不同的無窮等比子數列，使得它們各項的和相等．

解：(1)依條件得： 則無窮等比數列各項的和為：

．　 ……………………………………………………………………3分

(2)解法一：設子數列的首項為，公比為，由條件得：，

則，即 ，　 ．

而 　，則 ．

所以，滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，它的首項．公比均為，

其通項公式為，．　　 ………………………………………………7分

解法二：由條件，可設此子數列的首項為，公比為．

由………… ①

又若，則對每一_，都有………… ②

從①、②得；則；

因而滿足條件的無窮等比子數列存在且唯一，此子數列是首項．公比均為無窮等比子數列，通項公式為，．　 …………………………………………7分

(3)假設存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使它們的各項和相等．設這兩個

子數列的首項與公比分別為和，其中且或，則………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設，則

．

①………… ②

②

或

，兩個等式的左,右端的奇偶性均矛盾．

故不存在原數列的兩個不同的無窮等比子數列，使得它們的各項和相等． ………13分

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20．(本小題滿分13分)

已知是橢圓的頂點(如圖),直線與橢圓交于異于頂點的兩點,且．若橢圓的離心率

是,且．

(1)求此橢圓的方程；

(2)設直線和直線的傾斜角分別

為．試判斷是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．

解：(1)由已知可得，所以橢圓方程為．　 ……4分

(2)是定值．理由如下：

　　 由(1)，A₂(2，0)，B(0，1)，且//A₂B，所以直線的斜率．…6分

　　 設直線的方程為,，

　　 即，且 ．　　　　 ………………………9分

　　 ． …………………………………………10分

　　 又因為，

　　 ＝

　　 ．

　　 又 是定值．…………………………13分

19．(本小題滿分13分)

已知函數．(1)求的單調區間；(2)若不等式　

恒成立，求實數的取值組成的集合．

解：(1)由已知得．因為，

所以當．

故區間為的單調遞減區間，區間為的單調遞增區間．……5分

(2)①當時，．

令，則．

由(1)知當時，有，所以，

即得在上為增函數，所以，

所以． ………………………………………………………………………………9分

②當時，．

由①可知，當時，為增函數，所以，

所以．

綜合以上得．故實數的取值組成的集合為．　 …………………………13分

18．(本小題滿分12分)

在一種智力有獎競猜游戲中，每個參加者可以回答兩個問題(題1和題2)，且對兩個問題可以按自己選擇的順序進行作答，但是只有答對了第一個問題之后才能回答第二個問題．假設：答對題()，就得到獎金元，且答對題的概率為()，并且兩次作答不會相互影響．

(1)當元，，元，時，某人選擇先回答題1，設獲得獎金為，求的分布列和．

(2)若，，若答題人無論先回答哪個問題，答題人可能得到的獎金一樣多，求此時的值．

解：(1)分布列：

	0	2000	3000
	0.4	0.12	0.48

．　………………………………6分(2)設選擇先回答題1，得到的獎金為；選擇先回答題2，得到的獎金為，

則有_，．根據題意可知：

，

當時，(負號舍去)．當時，_，

_，先答題1或題2可能得到的獎金一樣多．………………………………12分

17．(本小題滿分12分)

已知斜三棱柱，，　

，在底面上的射影恰

為的中點，又知．

(1)求證：平面；

(2)求二面角的大小．

解：(1)取的中點，則，因為，

所以，又平面，以為軸建立空間坐標系，則，，，，，，，，由，知，

又，從而平面．　 　…………………………………………6分

(2)由，得．設平面的法向量為，

，，所以 ，

設，則．

再設平面的法向量為，，，

所以 ，設，則．

根據法向量的方向，可知二面角的大小為． ……………12分

幾何法(略)

16．(本小題滿分12分)

已知sin(+3a) sin(－3a)＝，a∈(0， )，求(1)求角；(2)求( －)sin4α的值．

解：(1)

，

即，又6a∈(0，)，∴，即．…………………………6分

(2)(－)

sin4α=

．………………………………………………………………………12分

15．已知，滿足，且目標函數的最大值為7，最小值為4，

則(i)；(ii)的取值范圍為．

14．已知數列：1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，，……．

(i)對應的項數為；(ii)前2009項的和為．

13．底面邊長為，側棱長為2的正三棱錐ABCD內接于球O，則球O的表面積為．