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1．設復數，，則復數在復平面內對應的點位于（    ）

A．第一象限        B．第二象限        C．第三象限        D．第四象限

2．某中學高一年級有學生1200人，高二年級有學生900人，高三年級有學生1500人,現用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為720的樣本進行某項調查，則高二年級應抽取的學生數為（    ）

A．180              B．240             C．480             D．720

3．“”是“”的（     ）條件

A．充分不必要     B．必要不充分    C．充要      D．既不充分也不必要

4．在邊長為1的等邊中，設（    ）

  A．           B．          C．          D．

5．下列命題錯誤的是（  ）

       A．命題“若，則中至少有一個為零”的否定是：“若，則都不為零”。

       B．對于命題，使得；則是，均有。

     C．命題“若，則方程有實根”的逆否命題為：“若方程無實根，則”。

D．“”是“”的充分不必要條件。

6．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2的

等腰三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體

的體積是（     ）

A．      B．   C．      D．

7．直線與圓的位置關系是（   ）

    A．相離          B．相交           C．相切            D．不確定

8. 設集合，分別從集合和中隨機取一個數和，確定平面上的一個點，記“點落在直線上”為事件，若事件的概率最大，則的可能值為（    ）

A．2                 B．3                 C．1和3             D．2和4

9．已知是等差數列，，，則過點的直線的斜率為（    ）

A．4              B．              C．－4                 D．－14

10. 已知函數的定義域為[―2，，部分對應值如下表。為的導函數，函數的圖象如右圖所示：

   ―2

   0

4

1

―1

1

若兩正數滿足，則的取值范圍是（    ）

A．         B．           C．          D．

第Ⅱ卷  非選擇題（共100分）

11. 函數的圖像在點M處的切線方程是,=          。

12. 已知流程圖如右圖所示，該程序運行后，為使輸出的b值為，則循環體的判斷框內①處應填                    。

13. 以、為焦點的橢圓＝１（）上頂點P，

當=120°時，則此橢圓離心率e的大小為      。

★（請考生在以下二個小題中任選一題作答，全答的以第一小題計分）

14. （坐標系與參數方程選做題）極坐標系中，曲線和相交于點，則＝        ．

15．（幾何證明選講選做題）如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點C的

切線交AB的延長線于點D，CD=2，AB =3．

則BD的長為       ．

（★請在答題卷的指定區域內作答，否則該題計為零分．）

16．（本小題滿分12分）

已知函數．

（Ⅰ）求函數的周期和最大值；

（Ⅱ）已知，求的值．

17．（本小題滿分14分）

統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關于行駛速度（千米/小時）的函數解析式可以表示為：．已知甲、乙兩地相距100千米。

       （Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

       （Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

18．（本小題滿分12分）

   （1）在一個紅綠燈路口，紅燈、黃燈和綠燈的時間分別為30秒、5秒和40秒。當你到達路口時，求不是紅燈的概率。

（2）已知關于x的一元二次函數設集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為和，求函數在區間[上是增函數的概率。

19．（本小題滿分14分）

如圖，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點．

（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

20．（本小題滿分14分）

若橢圓過點，離心率為，⊙O的圓心在原點，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為，過⊙M上任一點P作⊙O的切線PA、PB，切點為A、B.

  (1) 求橢圓的方程；

（2）若直線PA與⊙M的另一交點為Q，當弦PQ最大時，求直線PA的方程。

21．（本小題滿分14分）

已知數列的前項和和通項滿足（是常數且）。

(Ⅰ)求數列的通項公式；

(Ⅱ) 當時，試證明；

(Ⅲ)設函數，，是否存在正整數，使對都成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

惠州市2009屆高三模擬考試數學試題

（文科）評分標準

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

B

A

A

D

D

A

A

B

1、解析：，所以對應的點的坐標為，故選D。

2、解析：抽取學生數為（人），故選A。

3、解析： ，故選B。

4、解析：，故選A。

5、解析：命題的否定是只否定結論，∴選A.

6、解析：由三視圖知幾何體的直觀圖是半個圓錐， ，∴選D．

7、解析：圓心（0，0）到直線的距離，

圓的半徑為1，可能相切或相交。故選D。

8、解析：P點取法總共有9種，由圖知直線截距為2時經過的點最多；

∴選A．

9、解析：∵是等差數列，，，

∴，，∴，選A.

10、解析：由題意，函數的圖象大致如圖，

 ，

則由不等式組所表示的區域如圖所示，

的取值范圍即區域內的點與

連線的斜率的取值范圍，，故選B。

二．填空題（本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只需選做其中一題，兩題全答的，只以第一小題計分．）

11、4     12、3（注:答題卷填的是也給5分）   13、   14、   15、4

11、解析：∵切點既在曲線上也在切線上，∴，，∴=4

12、解析：=1時進入循環此時=2¹=2，=2時再進入循環此時=2²=4，=3時再進入循環此時=2⁴=16，∴=4時應跳出循環，∴循環滿足的條件為，∴填3。

（注:答題卷填的是也給5分）

13、解析：當=120°時，=30°，∴。∴填．

14、解析：在平面直角坐標系中，曲線和分別表示圓 和直線，作圖易知＝。

15、解析：由切割線定理得:， ， ，．

16．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）

＝．…………………………………………………… 3分

∴周期為，        …………………………………………………… 4分

最大值為6    …………………………………………………………………… 5分

（Ⅱ）由，得．………………… 6分

∴．     …………………………… 7分

∴，       ………………………………………………… 8分

即            ………… 9分

，    ………………………………………………………10分

∴．  …………………………………………………… 12分

17．（本小題滿分14分）

解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，      ………………2分

       要耗油（升）。              ……4分

 答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。……6分

    （II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，

         依題意得

…………8分

     令得 ………10分

         當時，是減函數；

         當時，是增函數。

當時，取到極小值                ………………12分

         因為在上只有一個極值，所以它是最小值。

 答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少為11.25升。…14分

18．（本小題滿分12分）

解：（1）基本事件是遇到紅燈、黃燈和綠燈，它們的時間分別為30秒、5秒和40秒，設它們的概率的分別為P₁，P₂，P₃，

所以不是紅燈的概率P=1- P₁= ………………… 6分

（2）∵函數的圖象的對稱軸為

要使在區間上為增函數，

當且僅當>0且       …………………………………………8分

若=1則=－1，

若=2則=－1，1；

若=3則=－1，1；                …………………………………………10分

∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5

∴所求事件的概率為            …………………………………………12分

19.(本小題滿分14分)

（1）證明：連結BD.在長方體中，對角線.              ……………2分

又 E、F為棱AD、AB的中點， ∴. ∴.    ……………4分

又B₁D₁平面，平面，∴EF∥平面CB₁D₁.     ……………7分

（2） 在長方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

∴AA₁⊥B₁D₁.                                        ………………………9分

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，∴ B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.

又 B₁D₁平面CB₁D₁，∴平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．         ……………14分

20．（本小題滿分14分）

解：（1）由題意得： ，         ………………………4分

所以橢圓的方程為      …………………………………………6分

（2）由題可知當直線PA過圓M的圓心（8，6）時，弦PQ最大，       ……8分

因為直線PA的斜率一定存在，設直線PA的方程為：y-6=k(x-8)      ……10分

    又因為PA與圓O相切，所以圓心（0，0）到直線PA的距離為  ……11分

    即  可得              ……………………12分

所以直線PA的方程為：   …………14分

21．(本小題滿分14分)

解: (Ⅰ)由題意，，得∴  …………1分

當時， ，

    ∴                      ………………3分

∴數列是首項，公比為的等比數列，∴  ………4分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知當時，        …………………5分

∵，∴   …………………………………………………6分

即     …………………………………………………………………………7分

(Ⅲ)∵

     ＝

=      ………………………………9分

∵     ………………………………………………10分

      ∴＝ …12分

       由得 -------()

      ∵()對都成立 ∴  ∵是正整數，∴的值為1,2,3。

      ∴使對都成立的正整數存在，其值為：1，2，3.  ……14分