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5.坐標(biāo)變換

　坐標(biāo)變換　 在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做 坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn) 的坐標(biāo)與曲線的方程.

　坐標(biāo)軸的平移　 坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變原點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫 做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸.

　坐標(biāo)軸的平移公式　 設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(x,y)，在新坐標(biāo)系x ′O′y′中的坐標(biāo)是(x′,y′).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O′在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則

　(1)　　　　 或　　　 (2)

　公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.

　中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程

　中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.

方　　 程	焦　 點(diǎn)	焦　 線	對稱軸
橢 　 　圓		(±c+h,k)	x=±+h	x=h 　y=k
	(h,±c+k)	y=±+k	x=h 　y=k
雙曲線		(±c+h,k)	y=±+k	x=h 　y=k
	(h,±c+k)	y=±+k	x=h 　y=k
拋物線	(y-k)2=2p(x-h)	(+h,k)	x=-+h	y=k
(y-k)2=-2p(x-h)	(-+h,k)	x=+h	y=k
(x-h)2=2p(y-k)	(h, +k)	y=-+k	x=h
(x-h)2=-2p(y-k)	(h,- +k)	y=+k	x=h

4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義

　平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之 比是一個(gè)常數(shù)e(e＞0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線.

　其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率.

　當(dāng)0＜e＜1時(shí)，軌跡為橢圓

　當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線

　當(dāng)e＞1時(shí)，軌跡為雙曲線

3.橢圓、雙曲線和拋物線

橢圓、雙曲線和拋物線的基本知識見下表.

2.圓

　圓的定義

　點(diǎn)集：{M｜｜OM｜=r}，其中定點(diǎn)O為圓心，定長r為半徑.

　圓的方程

　(1)標(biāo)準(zhǔn)方程

　圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是

　(x-a)²+(y-b)²=r²

　圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是

　x²+y²=r²

　(2)一般方程

　當(dāng)D²+E²-4F＞0時(shí)，一元二次方程

　x²+y²+Dx+Ey+F=0

　叫做圓的一般方程，圓心為(-,-)，半徑是.配方，將方程x²+y²+Dx+Ey+F=0化為

　(x+)²+(y+)²=

　當(dāng)D²+E²-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)

　(-,-);

　當(dāng)D²+E²-4F＜0時(shí)，方程不表示任何圖形.

　點(diǎn)與圓的位置關(guān)系　 已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x₀,y₀)，則

　｜MC｜＜r點(diǎn)M在圓C內(nèi)，

　　 　　　　　　　　　　　　｜MC｜=r點(diǎn)M在圓C上，

　　　　　　 ｜MC｜＞r點(diǎn)M在圓C內(nèi)，

　其中｜MC｜=.

　(3)直線和圓的位置關(guān)系

　①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系

　直線與圓相交?有兩個(gè)公共點(diǎn)

　直線與圓相切?有一個(gè)公共點(diǎn)

　直線與圓相離?沒有公共點(diǎn)

　②直線和圓的位置關(guān)系的判定

　(i)判別式法

　(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d=與半徑r的大小關(guān)系來判定.

1.方程的曲線

　在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 )上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

　(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

　(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫 做方程的曲線.

　點(diǎn)與曲線的關(guān)系　 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P₀(x₀,y₀)在曲線C上f(x₀,y₀)=0；

　點(diǎn)P₀(x₀,y₀)不在曲線C上f(x₀,y₀)≠0

　兩條曲線的交點(diǎn)　 若曲線C₁，C₂的方程分別為f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,則

　點(diǎn)P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交點(diǎn)

　方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒有 交點(diǎn).

4.了解用坐標(biāo)法研究幾何問題的思想，初步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的方法.

3.理解坐標(biāo)變換的意義，掌握利用坐標(biāo)軸平移化簡圓錐曲線方程的方法.

2.掌握圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，并根據(jù)所給的條件畫圓錐曲線，了解圓錐曲線的 一些實(shí)際應(yīng)用.

1.掌握直角坐標(biāo)系中的曲線與方程的關(guān)系和軌跡的概念，能夠根據(jù)所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹?角坐標(biāo)系求曲線的方程，并畫出方程所表示的曲線.

8.已知圓C:x²+(y-1)²=5,直線l:mx-y+1=0，

(1)求證：對m∈R,直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；

(2)設(shè)l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=，求l的傾斜角；

(3)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.