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(三)兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角，兩條直線的交點，點到直線的距離

說明　 這部分內容近年高考在填空、選擇及解答題中都�？疾榈�.

使用公式求l₁到l₂的角時，應注意k₁、k₂的順序.過兩直線交點的直線系方程中不 包括直線l₂.

例3　 光線由點(-1，4)射出，遇直線2x+3y-6=0被反射，已知反射光線過點(3 ，).求反射光線所在直線方程.

解：　 設(-1，4)點關于已知直線對稱點為(x′，y′).

則點(-1，4)與點(x′，y′)的連線段被已知直線垂直平分，故可得　 解得，再由兩點式可得所求直線方程為13x-26y+85=0.

(二)直線方程，直線的斜率，直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程，直線方程的一 般形式

例2　 直線xcosα-y+1＝0的傾斜角的變化范圍是　　　　　　　　　　　 .

解　 直線方程化為斜截式y=cosα·x+1，故k=cosα，

又-1≤k≤1，故傾角所取范圍是［0，］和［，π］。

(一)有向線段、兩點間距離、線段的定比分點

例1　 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，求∠BAC平分線的長.

解：　 由兩點距離公式求得│AB│=5，│AC│=10，設角平分線交BC于D(x，y)，由角平分線性質得λ=，從而求得D(，)，故可得│AD│=.

5.直線關于點的對稱

直線關于點的對稱直線一定是一條與已知直線平行的直線，由中點坐標公式可得

直線Ax+By+C=0關于點P(x₀,y₀)的對稱直線方程是

A(2x₀-x)+B(2y₀-y)+C=0

即　　　　 　　　　　　　　　Ax+By-(2Ax₀+2By₀+C)=0.

“直線關于直線”對稱

(1)幾種特殊位置的對稱

已知曲線f(x,y)=0，則它：

①關于x軸對稱的曲線是f(x,-y)=0；

②關于y軸對稱的曲線是f(-x,y)=0；

③關于原點對稱的曲線是f(-x,-y)=0；

④關于直線y=x對稱的曲線f(y,x)=0；

⑤關于直線線y=-x對稱的曲線

f(-y,-x)=0；

⑥關于直線x=a對稱的曲線是

f(2a-x,y)=0；

⑦關于直線y=b對稱的曲線是

f(x,2b-y)=0

4.點與直線的位置關系

點P(x₀,y₀)在直線Ax+By+C=0上的充要條件是

Ax₀+By₀+C=0.

點到直線的距離公式

點P(x₀,y₀)到直線Ax+By+C=0的距離是

d=

據此可推出：

(1)兩平行線間的距離公式

兩平行直線Ax+By+C₁=0和Ax+By+C₂=0間的距離為

d=.

3.直線的方程

直線方程的幾種形式

名稱	已知條件	方程	說明
斜截式	斜率k縱截距b	y=kx+bx	不包括y軸和平行于y軸的直線
點斜式	點P 1(x1,y1)斜率k	y-y1=k(x-x1)	不包括y軸和平行于y軸的直線
兩點式	點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)		不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線
截距式	橫截距a縱坐標b	=1	不包括坐標軸，平行于坐標軸和過原點的直線
一般式	-	Ax+By+C=0	A、B不同時為0

兩條直線的位置關系

當直線不平行于坐標軸時：

(1)直線l₁到l₂的角　 直線l₁依逆時針方向旋轉到與l₂重合時所轉的角，叫做l₁ 到l₂的角.

計算公式

設直線l₁，l₂的斜率分別是k₁，k₂，則

tgθ=　　　 (k₁k₂≠-1)

(2)兩條直線的夾角一條直線到另一條直線的角小于直角的角，即兩條直線所成的銳角叫做兩條直線所成的角，簡稱夾角.這時的計算公式為：tgθ=

2.線段的定比分點

有向直線l上的一點P，把l上的有向線段分成兩條有向線段分成兩條有向線段，則和的數量之比

λ=

定比分點公式　 若P₁、P₂兩點坐標為(x₁,y₁)，(x₂,y₂),點P(x,y)分有向線段成定比

λ= (λ≠-1)，

則P點坐標

x=，　　 y=.

(1).中點公式　 設P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)，則P₁P₂的中點P(x,y)的坐標是

x=,　　 y=.

(2)三角形的重心公式　 若△ABC的各頂點坐標分別為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y ₃)，則△ABC的重心G(x,y)的坐標是

x=，　　　 y=

1.有向線段

一條有向線段的長度，連同表示它的方向的正負號，叫做有向線段的數量.有向線段的數量用AB表示.

若有向線段在數軸上的坐標為A(x₁)，B(x₂)，則

它的數量　　 AB=x₂-x₁

它的長度　　 ｜AB｜=｜x₂-x₁｜

平面上兩點間的距離　 設P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)是坐標平面上的任意兩點，則 它們的距離

｜P₁P₂｜=

當P₁P₂⊥Ox軸時，｜P₁P₂｜=｜y₂-y₁｜；當P₁P₂⊥Oy軸時，｜P₁P₂｜ =｜x₂-x₁｜；點P(x,y)到原點O的距離，｜OP｜=.

三角形的中線長公式

如圖，AO是△ABC的BC邊上的中線.則｜AB｜²+｜AC｜²

=2［｜AO｜²+｜OC｜²］

3.掌握兩條直線平行與垂直的條件.能夠根據直線的方程判定兩條直線的位置關系.會求兩條 直線的夾角和交點.掌握點到直線的距離公式.

2.理解直線斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率的公式，熟練掌握直線方程的點斜式，掌 握直線方程的斜截式、兩點式、截距式以及直線的一般式.能夠根據條件求出直線的方程.