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13.空間的各種距離

點到平面的距離

(1)定義　 從平面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面 的距離.

(2)求點面距離常用的方法：

1)直接利用定義求

①找到(或作出)表示距離的線段；

②抓住線段(所求距離)所在三角形解之.

2)利用兩平面互相垂直的性質.即如果已知點在已知平面的垂面上，則已知點到兩平面交線 的距離就是所求的點面距離.

3)體積法　 其步驟是：①在平面內選取適當三點，和已知點構成三棱錐；②求出此三棱錐的體積V和所取三點構成三角形的面積S；③由V=S·h，求出h即為所求.這種方法的優點是不必作出垂線即可求點面距離.難點在于如何構造合適的三棱錐以便于計算.

4)轉化法　 將點到平面的距離轉化為(平行)直線與平面的距離來求.

12.二面角及二面角的平面角

(1)半平面　 一條直線把平面分成兩個部分，每一部分都叫做半平面.

(2)二面角　 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.

若兩個平面相交，則以兩個平面的交線為棱形成四個二面角.

二面角的大小用它的平面角來度量，通常認為二面角的平面角θ的取值范圍是

0°＜θ≤180°

(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一點為端點，分別在兩個面內作垂直于棱的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.

如圖，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小與頂點C在棱AB上的位置無關.

②二面角的平面角具有下列性質：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.

(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(異于角的頂點)作另一面的垂線，垂足必在平面角 的另一邊(或其反向延長線)上.

(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.

③找(或作)二面角的平面角的主要方法.

(i)定義法

(ii)垂面法

(iii)三垂線法

(Ⅳ)根據特殊圖形的性質

(4)求二面角大小的常見方法

①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通過解三角形求得θ的值.

②利用面積射影定理

S′=S·cosα

其中S為二面角一個面內平面圖形的面積，S′是這個平面圖形在另一個面上的射影圖形的面積，α為二面角的大小.

③利用異面直線上兩點間的距離公式求二面角的大小.

11.直線和平面所成的角

(1)定義　 直線和平面所成的角有三種：

(i)斜線和平面所成的角　 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線 和這個平面所成的角.

(ii)垂線與平面所成的角　 一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角.

(iii)一條直線和平面平行，或在平面內，則它們所成的角是0°的角.

(2)取值范圍　　　 0°≤θ≤90°

(3)求解方法

①作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角θ.

②解含θ的三角形，求出其大小.

③最小角定理

斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角，亦可說，斜線和平面所成的角不大于斜線與平面內任何直線所成的角.

10.空間中的各種角

等角定理及其推論

定理　 若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個角相等.

推論　 若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.

異面直線所成的角

(1)定義：a、b是兩條異面直線，經過空間任意一點O，分別引直線a′∥a,b′∥b,則a′和b ′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.

(2)取值范圍：0°＜θ≤90°.

(3)求解方法

①根據定義，通過平移，找到異面直線所成的角θ；

②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.

9.射影及有關性質

(1)點在平面上的射影　 自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影，點的射影還是點.

(2)直線在平面上的射影　 自直線上的兩個點向平面引垂線，過兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影.和射影面垂直的直線的射影是一個點；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線.

(3)圖形在平面上的射影　 一個平面圖形上所有的點在一個平面上的射影的集合叫做這個平面圖形在該平面上的射影.

當圖形所在平面與射影面垂直時，射影是一條線段；

當圖形所在平面不與射影面垂直時，射影仍是一個圖形.

(4)射影的有關性質

從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中：

(i)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；

(ii)相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；

(iii)垂線段比任何一條斜線段都短.

8.存在性和唯一性定理

(1)過直線外一點與這條直線平行的直線有且只有一條；

(2)過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條；

(3)過平面外一點與這個平面平行的平面有且只有一個；

(4)與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；

(5)過一點與已知直線垂直的平面有且只有一個；

(6)過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個；

(7)過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個；

(8)過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個.

7.直線在平面內的判定

(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點在平面內，則這條直線在平面內.

(2)若兩個平面互相垂直，則經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平 面內，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，則ABα.

(3)過一點和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點而垂直于已知直線的平面內，即若A ∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則aα.

(4)過平面外一點和該平面平行的直線，都在過此點而與該平面平行的平面內，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，則aβ.

(5)如果一條直線與一個平面平行，那么過這個平面內一點與這條直線平行的直線必在這個 平面內，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,則bα.

6.線面平行與垂直的判定

(1)兩直線平行的判定

①定義：在同一個平面內，且沒有公共點的兩條直線平行.

②如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交 線平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,則a∥b.

③平行于同一直線的兩直線平行，即若a∥b,b∥c,則a∥c.

④垂直于同一平面的兩直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b

⑤兩平行平面與同一個平面相交，那么兩條交線平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a∥ b

⑥如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線與這兩個平面的交線平行，即若α∩ β=b,a∥α,a∥β，則a∥b.

(2)兩直線垂直的判定

①定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.

②一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b∥c,a⊥b,則a⊥c

③一條直線垂直于一個平面，則垂直于這個平面內的任意一條直線.即若a⊥α,bα，a⊥b .

④三垂線定理和它的逆定理：在平面內的一條直線，若和這個平面的一條斜線的射影垂直， 則它也和這條斜線垂直.

⑤如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面的垂線垂直.即若a∥α,b⊥α, 則a⊥b.

⑥三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ= b,γ∩α=c，則a⊥b,b⊥c,c⊥a.

(3)直線與平面平行的判定

①定義：若一 條直線和平面沒有公共點，則這直線與這個平面平行.

②如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行.即若aα,bα，a∥b,則a∥α.

③兩個平面平行，其中一個平面內的直線平行于另一個平面，即若α∥β,lα，則l∥β.

④如果一個平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個平面平行.即 若α⊥β,l⊥β，lα，則l∥α.

⑤在一個平面同側的兩個點，如果它們與這個平面的距離相等，那么過這兩個點的直線與這 個平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同側，且A、B到α等距，則AB∥α.

⑥兩個平行平面外的一條直線與其中一個平面平行，也與另一個平面平行，即若α∥β，aβ，a∥α，則α∥β.

⑦如果一條直線與一個平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若a⊥ α,bα，b⊥a，則b∥α.

⑧如果兩條平行直線中的一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面(或在這個平 面內)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)

(4)直線與平面垂直的判定

①定義：若一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直.

②如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,則l⊥α.

③如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥ α,則l⊥α.

④一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面，即若α∥β,l⊥β ，則l⊥α.

⑤如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面，即 若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,則l⊥α.

⑥如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面，即若α⊥γ ,β⊥γ,且a∩β=α,則a⊥γ.

(5)兩平面平行的判定

①定義：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面平行，即無公共點α∥β.

②如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,則α∥β.

③垂直于同一直線的兩平面平行.即若α⊥a,β⊥a,則α∥β.

④平行于同一平面的兩平面平行.即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.

⑤一個平面內的兩條直線分別平行于另一平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即若 a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,則α∥β.

(6)兩平面垂直的判定

①定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直，即二面 角α－a－β=90°α⊥β.

②如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直，即若l⊥β,lα ，則α⊥β.

③一個平面垂直于兩個平行平面中的一個，也垂直于另一個.即若α∥β，α⊥γ，則β⊥ γ.

5.異面直線的判定

證明兩條直線是異面直線通常采用反證法.

有時也可用定理“平面內一點與平面外一點的連線，與平面內不經過該點的直線是異面直線 ”.

4.空間線面的位置關系

(1)直線與直線

(2)直線和平面

(3)平面與平面