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1．若 ，且，則是                                  （     ）

 A．第一象限角                       B．第二象限角        

C．第三象限角                       D．第四象限角

2．對于向量、、和實數，下列命題中真命題是                       （     ）

A．若，則                 B．若，則

C．若，則或        D．若，則=0

3．設函數的圖象關于點（2，1）對稱，且存在反函數．若，則的值是（     ）

  A．-1             B．1            C．2              D．3

4．已知、是兩條不同直線，、是兩個不同平面，下列命題中的真命題是           （     ）

     A．如果，那么

       B．如果，那么

C．如果共面，那么∥

D．如果∥,，,那么

5．從原點向圓引兩條切線，則兩條切線所夾的劣弧的長是           （     ）

    A．              B．             C．            D．

6．若集合，，則“”是“”的 （     ）

A．充分不必要條件                B．必要不充分條件         

C．充分必要條件                  D．既不充分也不必要條件  

7． 在上可導的函數的圖象如圖所示，則關于的不等式的解集為（     ）

Ａ．    Ｂ．        

Ｃ．    Ｄ．

8．設為大于零的常數，則函數的最小值是                 （     ）

A．          B．         C．        D．

第Ⅱ卷（ 共110分）

注意事項：1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上．

2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚．

題 號

二

                   三

總分

9

10

11

12

13

14

15

  16

  17

  18

  19

  20

分 數

得分

評卷人

9．設為虛數單位，=              ．

 10．的展開式中常數項是            ．

 11．從5名學生中選出3人參加數學、物理、化學三科競賽，每科1人．若學生甲不能參加物理競賽，則不同的參賽方案共有             種(用數字作答)．

12．直線與的公共點的坐標是         ；設動點的坐標滿足約束條件 且為坐標原點，則的最小值為            ．

13．已知雙曲線的右焦點為，為雙曲線左準線上的點，且交雙曲線于第一象限一點，若為坐標原點，且垂直平分，則雙曲線的離心率=           ．

14． 給出如下三角形數表：

1

2  2

3   4  3

4   7   7  4

5  11  14  11  5

6  16  25  25  16  6

……………………

此數表滿足：① 第行首尾兩數均為，② 表中數字間的遞推關系類似于楊輝三角，即除了“兩腰”上的數字以外，每一個數都等于它上一行左右“兩肩”上的兩數之和．第行第個數是_____________．

得分

評卷人

15．（本小題滿分13分）

在中，角所對的邊的長分別為，且滿足．

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若，求的值．

得分

評卷人

 16．（本小題滿分13分）

某高等學校自愿獻血的50位學生的血型分布的情況如下表：

血型

A

B

AB

O

人數

20

10

5

15

（Ⅰ）從這50位學生中隨機選出2人，求這2人血型都為A型的概率；

（Ⅱ）從這50位學生中隨機選出2人，求這2人血型相同的概率；

（Ⅲ）現有一位血型為A型的病人需要輸血，要從血型為A,O的學生中隨機選出2人準備獻血，記選出A型血的人數為，求隨機變量的分布列及數學期望．

得分

評卷人

17．（本小題滿分14分）

如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1=4，AB=2， E是棱CC1上的一個動

  點．

   （Ⅰ）求證：BE∥平面AA1D1D；

   （Ⅱ）當CE=1時，求二面角B―ED―C的大小；

   （Ⅲ）當CE等于何值時，A1C⊥平面BDE．

得分

評卷人

18．（本小題滿分13分）

已知數列滿足，點在直線上，數列滿足，．

（Ⅰ）求數列，的通項公式；

（Ⅱ）設，求數列的前項和．

得分

評卷人

19．（本小題滿分13分）

已知橢圓的離心率為，分別為橢圓的左右焦點，且到橢圓的右準線的距離為，點為上的動點，直線交橢圓于兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求的面積的取值范圍；

（Ⅲ）設，，求證為定值．

得分

評卷人

20．（本小題滿分14分）

已知函數

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）求函數在區間上的最小值．

北京市朝陽區高三統一考試

     數學試卷答案(理科)      2009．2

題 號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

A

C 

C

A

B

B

9．      10． 15      11． 48      12．； 5     13．   

14．

15．解：（Ⅰ）  因為，所以．

所以．即=0．

在中，,所以=0，得．  ┅┅┅┅5分

（Ⅱ）因為，所以．

    又因為是的內角，所以．

所以．        ┅┅┅┅13分

16． 解：（Ⅰ）記“這2人血型都為A型”為事件A，那么，

即這2人血型都為A型的概率是．                 ┅┅┅┅4分

（Ⅱ）記“這2人血型相同”為事件B，那么，

所以這2人血型相同的概率是．                         ┅┅┅┅8分

（Ⅲ）隨機變量可能取的值為0，1，2．且，

，．

所以的分布列是

0

1

2

的數學期望為E=0×+1×+2×=．┅┅┅┅13分

17．解法（一）

（Ⅰ）證明： 由已知，為正四棱柱，

所以平面BB1C1C∥平面AA1D1D,

又因為BE平面BB1C1C，

所以，BE∥平面AA1D1D．                 ┅┅┅┅4分

（Ⅱ）解：如圖1，過C作CH⊥ED于H，連接BH．

因為為正四棱柱，所以BC⊥平面C1CDD1.

則CH是斜線BH在面C1CDD1上的射影,所以BH⊥ED．

       所以∠BHC是二面角B―ED―C的平面角．

在RtECD中，易知．

因為,所以．

在RtBCH中，,所以,

所以,二面角B―ED―C的大小是．┅┅┅┅9分

（Ⅲ）如圖2，連結AC交BD于點O,

因為為正四棱柱，AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，

由三垂線定理可知，A1C⊥BD．

連結B1C，因為A1B1⊥平面B1BCC1，

所以B1C 是A1C在平面B1BCC1上的射影．

要使A1C⊥平面BDE，只需A1C⊥BE，由三垂線定理可知，只需B1C⊥BE．

      由平面幾何知識可知，

B1C⊥BE BCE∽B1BC ．

由已知BB1=AA1=4，BC=AB=2，所以．

即當時, A1C⊥平面BDE．                         ┅┅┅┅14分

解法（二）建立空間直角坐標系A―xyz，如圖．

（Ⅰ）證明： 依題意可設E（2，2，z）,

因為B（2，0，0）, 所以=（0，2，z）．

又因為, 為平面AA1D1D的法向量．

且，

所以，  而BE平面AA1D1D，

所以，BE∥平面AA1D1D．

（Ⅱ）因為CE=1，所以E（2，2，1）,又B（2,0,0）,D(0,2,0),

所以=（0，2，1）, ．

  設平面BDE的法向量為,

由得  所以

所以．又面,所以為平面CDE的法向量．

因為,所以．

由圖可知,二面角的平面角小于,所以二面角B―ED―C的大小是．

（Ⅲ）解：連結AC交BD于點O．

因為為正四棱柱，

所以AC⊥BD．

要使A1C⊥平面BDE，只需A1C⊥BE．

由題意B（2，0，0），C（2，2，0），A1（0，0，4），

設CE=x，則E（2，2，x），

所以, ．

由，得，

解得．  所以CE=1時，A1C⊥平面BDE．

18． 解：（Ⅰ）由點在直線上，所以．

則數列是首項為1，公差為1的等差數列，所以．

由，

則 = ，()

兩式相減得：

,．即數列的前項和,．

當時，，所以.

當時，．

所以．                                ┅┅┅┅7分

（Ⅱ）因為，所以．

   當時，，

    當時，

設．

令，則，

兩式相減得：

點到直線的距離，

所以的面積，

，

由題知且，于是，

故的面積的取值范圍是．                 ┅┅┅┅9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得

，，

于是，，

所以．

因為，

所以，即為定值．                       ┅┅┅┅14分

20．（Ⅰ）解：⑴當時, ,

．

由得, 解得或．

注意到,所以函數的單調遞增區間是．

由得,解得,

注意到,所以函數的單調遞減區間是．

⑵當時，，，

由得,解得，

注意到,所以函數的單調遞增區間是．

由得,解得或，

由,所以函數的單調遞減區間是．

綜上所述，函數的單調遞增區間是，；

單調遞減區間是，．                  ┅┅┅┅5分

（Ⅱ）當時,，

所以，

設.

⑴當時，有, 此時,所以,在上單調遞增．

    所以

⑵當時,．

     令,即,解得或(舍);

令,即,解得．

①若,即時, 在區間單調遞減，

所以．

②若,即時, 在區間上單調遞減,

在區間上單調遞增,所以．

③若,即時, 在區間單調遞增，

所以．

綜上所述,當或時, ;

        當時, ;

當時, ．                   ┅┅┅┅13分