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問題：如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形．如何計算這個曲邊梯形的面積？

如研究：求圖中陰影部分是由拋物線，直線,x=0以及軸所圍成的平面圖形的面積S。

思考1：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區別？（曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都是直線段）

     （2）能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉化為求“直邊圖形”面積的問題？

( “以直代曲”的思想)．

把區間分成許多個小區間，進而把曲邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值．分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S．也即：用劃歸為計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積．

解：1．分割：在區間上等間隔地插入個點，將區間等分成個小區間：

             ，，…，  

記第個區間為，其長度為

分別過上述個分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作：

           ，，…，

顯然，S≈

（2）以直代曲：記，如圖所示，當很大，即很小時，在區間上，可以認為函數的值變化很小，近似的等于一個常數，不妨認為它近似的等于左端點處的函數值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）．這樣，在區間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內“以直代曲”，則有△S_i=f()△x=()²   (i=1,2,3,……,n) ①

（3）求和：由①，上圖中陰影部分的面積為S_n====從而得到的近似值

（4）逼近：分別將區間等分8，16，20，…等份（如圖），可以看到，當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有S→

從數值上的變化趨勢（可以電子表格驗證）

說明：這樣求曲邊梯形的思想和步驟：分割以直代曲求和逼近    （“以直代曲”的思想）

思考2：它有什么實際背景呢？

例1、火箭發射后t秒內的速度為v(t)（單位：米/秒），假定0≤t≤10,對函數v(t)按照以直代曲作和有什么實際意義？

解：將區間[0,10]分成n個小區間，每個小區間的長度為△t,每個小區間上取一點，依次為t₁,t₂,……,t_n.雖然火箭的速度不是常數，但在一個小區間內其變化很小，所以用V(t₁)來代替火箭在第一小區間上的長度，這樣v(t₁)△t≈火箭在第一個時間段內運行的路程，同理v(t₂)△t≈火箭在第二個時間段內運行的路程，從而S_n=≈火箭在10秒內的總路程。

思考：當分割無限變細時(△t→0)，以上和表示的意義是什么？（表示10秒內的總路程）

練習：汽車以速度勻速直線運動時，經過時間所行駛的路程為．如果汽車作變速直線運動，在時刻的速度為（單位：km/h），那么它在0≤≤1(單位：h)這段時間內行駛的路程（單位：km）是多少？（）

例2、如圖，有兩個電荷A,B，電量分別為q_A,q_B.固定電荷A，將電荷B從距離A為a處移動到距離A為b處，求庫侖力對電荷B所做的功

解：將[a,b]分成n個區間，每個小區間的長度為△r，在每個小區間上取一點，依次為r₁,r₂,……,r_n,雖然庫侖力F=(k為比例常數)不是常數，但在每個小范圍內其變化很小，所以可以用F(r_i)來代替第i個區間上的庫侖力，這樣，F(r_i)△r≈庫侖力在第i個小區間上所做的功，S_n=≈電荷B移動過程中庫侖力所做的總功

思考：當分割無限變細時(△t→0)，以上式子表示什么意義？（表示a到b所做的功）

練習：彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力（為常數，是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長所作的功（）

2、變速這樣過程得到的結果是路程，變力經過這樣過程得到的結果是功

[A組]

1、已知自由落體運動的速率，則落體運動從到所走的路程為 _______

2、由直線，及ｘ軸圍成平面圖形的面積為______      

3、如果1N能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm，求需要做的功

[B組]

4、在曲線上的某點A處做一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點A的坐標以及切線方程. 

[答案] 1、

2、

3、0.18J

4、

[教后感想與作業情況]

§1.5.2定積分

[教學目標]

[教學重點]定積分的概念及加法運算

[教學難點]定積分的加法運算

教學過程：

一．創設情景

復習： 1． 回憶前面曲邊圖形面積的步驟：分割→以直代曲→求和→取極限（逼近      

2．對這四個步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點．

二．新課講授

1．定積分的概念    一般地，設函數在區間上連續，用分點

將區間等分成個小區間，每個小區間長度為（），在每個小區間上取一點，分點非常多（n很大）時，可以認為f(x)在小區間內幾乎沒有變化，從而可以取小區間內任意值作和式：    *

如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數，那么稱該常數為函數在區間上的定積分。此時常常將求和號∑拉長，記為：     

其中成為被積函數，叫做積分變量，為積分區間，積分上限，積分下限。

說明：（1）定積分是一個常數，即無限趨近的常數（時）稱為，而不是．

     （2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區間；②近似代替：取點；③求和：；④取極限：

（3）幾何意義為曲邊圖形面積：；

推廣說明：變速運動路程；變力F(t)作的功為W=

例1、將和式的極限在n→∞時表示成定積分為_____

解：

練習：由及軸圍成的介于0與2π之間的平面圖形的面積，利用定積分應表達為　

()

例2、計算，并說明它與+的關系，2呢

解：作圖知=，=+，2=3=

思考：一般的與A，與+關系如何？

一般的，設被積函數，若在上可取負值。

考察和式不妨設

于是和式即為

陰影的面積―陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）

=A,n無限增大時有=A

于是有：，，后者可以推廣為

練習：求和的值（5和1）

兩個背景――變速運動路程；變力F(t)作的功為W=；

三塊內容――定積分表示方法與求法、、

[補充習題]

1、由及軸圍成的介于0與2π之間的平面圖形的面積，利用定積分應表達為　　．

2、某物體運動的速度v是時間t的一次函數，v=kt+b,該物體有速度為0到速度為1時，其位移為2,從速度為0到速度為2時位移為6，則速度的函數關系式為____________

3、

4、當f(x)為下列函數時，求  (1)f(x)為常數函數，即f(x)=c；(2)f(x)=x；(3)f(x)=x².

(4)由上猜測f(x)=xⁿ時的積分值

[答案]

1、

2、v=2t+1

3、(1)(b-a)c； (2);  (3)   (4)

[教后感想與習題情況]

1.5.3微積分的基本定理（1）――內容及簡單應用

[教學目標]

[教學難點]推導過程

[教學重點]推導過程及初步應用

[教學過程]

2、對于復雜的定積分，怎樣計算？（根據和進行簡化）

3、以上簡化后，仍然需要求一個基本函數的定積分，如何求？（分割→以直代曲→求和→取極限（逼近））

思考：以上簡化后最終需要的這個龐大過程，簡單嗎？能否更進一步將這個基本的運算過程進行簡化？

1、回憶上一節的習題，我們得到一個結論：=，如果設F(x)=,則被積函數xⁿ與結果與F(x)= 有什么關系？由之能得到一個什么結論？（F^/(x)=xⁿ,右邊結果為F(b)-F(a),從而得到=F(b)-F(a)）

2、問題：以上結論對一般的函數是否仍然成立？

3、探究：按照定積分的步驟進行

（1）分割：

一般地，設函數F^/(x)在區間上連續，用分

將區間等分成個小區間，每個小區間長度為（），在每個小區間上取一點F^/(x_i-1)(i=1,2,3,…,n)，

（2）以直代曲：分點非常多（n很大）時，可以認為F^/(x)在小區間內幾乎沒有變化，從而≈F^/(x_i-1),從而F^/(x_i-1)△x≈F(x_i)-F(x_i-1)

(3)求和：

（4）取極限：如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數，S==[F(x₁)-F(x₀)]+[F(x₂)-F(x₁)]+[F(x₃)-F(x₂)]+…+[F(x_n)-F(x_n-1)]=F(x_n)-F(x₀)=     

F(b)-F(a)

   于是我們得到：對于在[a,b]上可導的函數F(x),有：=F(b)-F(a)，由于此式將微積分聯系起來，所以我們稱作微積分的基本定理。

   三、結論應用

  例：求下列定積分的值:(1)   (2)   (3)  (4)

解：(1) =-=-=5²-0²-(4×5-4×0)=5

(2) ==1³-0³=1

(3) ==(-cosπ)-（-cos0）=2

(4) ==ln3-ln1=ln3

練習：教材P51---練習1，2，3

對于在(a,b)上可導的函數F(x),=F(b)-F(a)

五、作業：教材P52---1(1)(2);2(1)(2),3,4

 [補充習題]

1、若，則等于________

   A    0      B    1       C     0或1     D   不確定

2、由曲線所圍成圖形的面積是_______________.

3、=___________

4、求由拋物線與過焦點的弦所圍成的圖形面積的最小值

5*、一物體按規律x＝bt³作直線運動，式中x為時間t內通過的距離，物體的阻力正比于速度的平方．試求物體由x＝0運動到x＝a時，阻力所作的功

[答案]

1、1

2、1/3

3、11/3

4、、焦點坐標為，設弦AB、CD過焦點F，且．

由圖得知：，故．

所求面積為：S=2=．

5*、物體的速度．媒質阻力，其中k為比例常數，k>0．當x=0時，t=0；當x=a時，，又ds=vdt，故阻力所作的功為

[教后感想與作業情況]

1.5.3微積分的基本定理（1）――分段與復合應用

[教學目標]

[教學難點]復合函數求定積分

[教學重點]復合函數的定積分以及分段函數的定積分

[教學過程]

用之加上兩個運算法則可以將定積分化簡求出

  例1、給出函數f(x)=,求的值

分析：被積區間為[-1,1]，而函數給出的是從0處的分段函數，因此，可以將區間分割為[-1,0]及[0,1]，分別求定積分再求和

解：=+=+=+=[×0³-×(-1)³]+(×1²-×0²)=

練習1：已知S(x)=,求      （-1）

練習2：求曲線與軸所圍成的圖形的面積（）

例2、計算的值   （解答1）

變形1：計算

（∵(sin2x)^/=2cos2x ∴==-=0）

說明：復合函數的導數對應于復合函數的積分

變形2：

（原式==（+）=(+0)=）

變形練習3：求的值  （結果：）

思考：如果F^/(x)=f(x),這樣的F(x)惟一嗎？有多少個？（不惟一，如F(x)+c都可以，有無數個）

[補充作業][B組]

1、____________

2、設y=f（x）是二次函數,方程f（x）=0有兩個相等的實根，且f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表達式；（2）求y=f（x）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積.

[C組]

3、拋物線y=ax²＋bx在第一象限內與直線x＋y=4相切．此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S．求使S達到最大值的a、b值，并求S_max．

 [答案]

1、;

2、解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2

∴a=1，b=2.∴f（x）=x²+2x+c  又方程f（x）=0有兩個相等實根，∴判別式Δ=4－4c=0，即c=1.

故f（x）=x²+2x+1.

（2）依題意，有所求面積=.

3、解 依題設可知拋物線為凸形，它與x軸的交點的橫坐標分別為x₁=0，x₂=－b/a，所以(1)  直線x＋y=4與拋物線y=ax²＋bx相切，即它們有唯一的公共點，由方程組得ax²＋(b＋1)x－4=0，其判別式必須為0，即(b＋1)²＋16a=0．

于是代入（1）式得：，；　

令S'(b)=0；在b＞0時得唯一駐點b=3，且當0＜b＜3時，S'(b)＞0；當b＞3時，S'(b)＜0．故在b=3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a=－1，b=3時，S取得最大值，且．

 [教后感想與作業情況]