試卷類型：A
2009年石家莊市高中畢業班第一次模擬考試試卷
數 學(文科)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．
參考公式：
如果事件
、
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件、相互獨立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率
是
，那么
次獨立重復試驗中事件 其中表示球的半徑
恰好發生
次的概率
第Ⅰ卷(選擇題 60分)
一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合
，且
，則實數
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函數
的反函數為
，則
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在等差數列
中，
，則此數列的前13項的和等于（ ）
A．13 B．
4．不等式
的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函數
的圖象只可能是（ ）
 |
6．已知正三棱錐中，一條側棱與底面所成的角為
，則一個側面與底面所成的角為（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在
的展開式中，含
項的系數是是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．某市有6名教師志愿到四川地震災區的甲、乙、丙三個鎮去支教，每人只能去一個鎮，則恰好其中一鎮去4名，另兩鎮各一名的概率為（ ）
A．
B．
C．
D．
9．過圓
上一點
作切線與
軸，
軸的正半軸交于
、
兩點，則
的最小值為（ ）
A． B．
C．
D．
10．已知函數
，若
是奇函數，則曲線
在點
處的切線方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．設動直線
與函數
和
的圖象分別交于
、
兩點，則
的最大值為（ ）
A． B． C． D．
12．雙曲線
的左準線為
，左焦點和右焦點分別為
、
，拋物線
的準線為，焦點為，
與的一個交點為，線段
的中點為，
是坐標原點，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．若方程
的一個根大于2且小于3，則
的取值范圍是 ．
14．若棱長為的正方體
的八個頂點都在球的表面上，則，
兩點之間的球面距離為
．
15．某工廠的庫房有A、B、C、D四類產品，它們的數量依次成等成數列，共計3000件。現采用分層抽樣方法從中抽取150件進行質量檢測，其中B、D兩類產品抽取的總數為100件，則原庫房中A類產品有 件．
16．給出以下四個命題：
①曲線
的焦點坐標是
；
②函數
的圖象的對稱中心是
；
③函數
的最小值為2；
④函數
的定義域是
．
則正確命題的序號是 。
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分10分)
18．(本小題滿分12分)
在
中，
，
．
(Ⅰ)求
；
(11)設
，當
的面積為
時，求
的值．
19．(本小題滿分12分)
在四棱錐
中，底面
是
邊長為2的菱形，
，
，
，
是
的中點．
(Ⅰ)證明：
平面；
(Ⅱ)求二面角
的大小．
20．(本小題滿分12分)
已知函數
．
(I)求的單調遞增區間；
(Ⅱ)對任意的
，
成立，求實數的取值范圍．
21．(本小題滿分12分)
在數列中，
，
，
．
(Ⅰ)證明：數列
是等比數列；
(Ⅱ) 求數列的通項公式。
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22．(本小題滿分12分)
已知兩點和分別在直線
和
上運動，且
，動點滿足：
(為坐標原點)，點的軌跡記為曲線
．
(Ⅰ)求曲線的方程，并討論曲線的類型；
(Ⅱ)過點
作直線與曲線交于不同的兩點、，若對于任意
，都有
為銳角，求直線的斜率
的取值范圍．
2009石家莊市高三第一次模擬考試
數學文科答案
一、A卷選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1.A 2. B 3. A 4. C 5.A 6.D
7. A 8. B 9. A 10. C 11.D 12.C
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13．
14．
15． 200 16．②，④
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
（小時）
,……………………………7分
.…………………………………9分
18．(本題12分)
解: (Ⅰ) 由余弦定理知:
……………………………3分
則
,
……………6分
(Ⅱ)
,即
共線. ………………………8分
……………10分
,
,
…………………………………12分
19．(本題12分)
（Ⅰ）取
的中點，連結
，
.
四邊形
為菱形,
,
則
……………3分
.
同理
.
故
.………………………6分
（或用同一法可證）
（Ⅱ）取
的中點
，過作
于點，連結
.
,
是二面角
的平面角，………9分
可求得
.
故二面角的大小為
.………………………12分
20. (本題12分)
（Ⅰ）
，令
得
……………2分
當
時，
,
故的單調遞增區間是
…………………………4分
(Ⅱ)(?)當
時，
,
在
上遞增，
要滿足條件,只需
，解得.……………………6分
(?)當
時，
，
在
上是遞減函數，在
上是遞增函數。
,
與已知矛盾, 無解.…………………8分
(?)當
時，
在上是減函數，在上是減函數.
要使恒成立，只需
，即
，得
或
.
與矛盾，無解.…………………………10分
綜上所述，滿足條件的取值范圍是
.……………………12分
(另解：由題意可得
得，故只有上述第一種情況符合條件.)
21．(本題12分)
（Ⅰ）由等式，
變形得
,……………………3分
,從而
.
∴數列｛an＋1－2an｝是以2為公比，以4為首項的等比數列. …………………6分
（Ⅱ）
∴
, 且
.
∴數列｛
｝是首項為1，公差為1的等差數列. …………………9分
∴＝1＋(n－1)×1＝n,
∴
. …………………………12分
22．(本題12分)
（I）由
，得是
的中點. …………………2分
設
依題意得:
消去
，整理得
．…………………4分
當
時，方程表示焦點在軸上的橢圓；
當
時，方程表示焦點在軸上的橢圓；
當
時，方程表示圓． …………………5分
（II）由，焦點在軸上的橢圓，直線與曲線恒有兩交點，
因為直線斜率不存在時不符合題意,
可設直線的方程為
，直線與橢圓的交點為
.
…………………7分
要使為銳角，則有
…………………9分
即
，
可得
，對于任意恒成立.
而
，
所以滿足條件的的取值范圍是
.…………………12分
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