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橢圓的左、右焦點分別為，一條直線經過點與橢圓交于兩點．

⑴求的周長；

⑵若的傾斜角為，求的面積．

【解析】（1）根據橢圓的定義的周長等于4a.

（2）設,則,然后直線l的方程與橢圓方程聯立，消去x，利用韋達定理可求出所求三角形的面積.

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（I）求橢圓的方程；

（II）若過點（2，0）的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當＜ 時，求實數的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關系的運用。

第一問中，利用

第二問中，利用直線與橢圓聯系，可知得到一元二次方程中，可得k的范圍，然后利用向量的＜不等式，表示得到t的范圍。

解：（1）由題意知

已知橢圓的焦點在軸上，中心在原點，離心率，直線與以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為、，點是橢圓上異于、的任意一點，設直線、的斜率分別為、，證明為定值；

（Ⅲ）設橢圓方程，、為長軸兩個端點， 為橢圓上異于、的點， 、分別為直線、的斜率，利用上面（Ⅱ）的結論得（        ）（只需直接填入結果即可，不必寫出推理過程）．

已知橢圓的焦點在軸上，中心在原點，離心率，直線與以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為、，點是橢圓上異于、的任意一點，設直線、的斜率分別為、，證明為定值；

（Ⅲ）設橢圓方程，、為長軸兩個端點， 為橢圓上異于、的點， 、分別為直線、的斜率，利用上面（Ⅱ）的結論得（        ）（只需直接填入結果即可，不必寫出推理過程）．

已知橢圓的長軸長為，焦點是，點到直線的距離為，過點且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于A、B兩點，使得.

(1)求橢圓的標準方程；           (2)求直線l的方程．

【解析】（1）中利用點F₁到直線x＝－的距離為可知－＋＝.得到a²＝4而c＝，∴b²＝a²－c²＝1.

得到橢圓的方程。（2）中，利用，設出點A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．，借助于向量公式再利用 A、B在橢圓＋y²＝1上， 得到坐標的值，然后求解得到直線方程。

解:(1)∵F₁到直線x＝－的距離為，∴－＋＝.

∴a²＝4而c＝，∴b²＝a²－c²＝1.

∵橢圓的焦點在x軸上，∴所求橢圓的方程為＋y²＝1.……4分

(2)設A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．由第(1)問知

,

∴……6分

∵A、B在橢圓＋y²＝1上，

∴……10分

∴l的斜率為＝.

∴l的方程為y＝(x－)，即x－y－＝0.