學習指導與練習基礎模塊
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1. 判斷下列命題的真假：(1) 如果$-2x ＞ 6$，那么$x ＜ -3$；(2) 如果$x ＜ 6$，那么$|x| ＜ 6$。
答案：(1) 真命題；(2) 假命題。
解析：(1) 由$-2x ＞ 6$，兩邊同除以$-2$（不等號變向）得$x ＜ -3$，故為真命題。(2) 當$x = -7$時，$x ＜ 6$成立，但$|x| = 7 ＞ 6$，故為假命題。
2. 寫出下列命題的逆命題，并判斷下列命題中的條件$p$是否為$q$的必要條件。(1) 如果$\tan\alpha = 1$，那么$\alpha = \frac{\pi}{4}$；(2) 如果$a,b$都是偶數，那么$a + b$是偶數。
答案：(1) 逆命題：如果$\alpha = \frac{\pi}{4}$，那么$\tan\alpha = 1$；$p$是$q$的必要條件。(2) 逆命題：如果$a + b$是偶數，那么$a,b$都是偶數；$p$不是$q$的必要條件。
解析：(1) 原命題中$p:\tan\alpha = 1$，$q:\alpha = \frac{\pi}{4}$。逆命題為“若$\alpha = \frac{\pi}{4}$，則$\tan\alpha = 1$”。判斷$p$是否為$q$的必要條件，即判斷$q \Rightarrow p$是否成立。因為$\alpha = \frac{\pi}{4}$時，$\tan\alpha = 1$，所以$q \Rightarrow p$，故$p$是$q$的必要條件。(2) 原命題中$p:a,b$都是偶數，$q:a + b$是偶數。逆命題為“若$a + b$是偶數，則$a,b$都是偶數”。判斷$p$是否為$q$的必要條件，即判斷$q \Rightarrow p$是否成立。當$a = 1,b = 3$時，$a + b = 4$是偶數，但$a,b$都是奇數，故$q \nRightarrow p$，所以$p$不是$q$的必要條件。
B組（一）選擇題1. 以下命題中，條件$p$不是結論$q$的充分條件的是（ ）。A. $p:x ＞ y,q:y ＜ x$ B. $p:$函數$f(x)$是偶函數,$q:f(5) = f(-5)$ C. $p:\cos\alpha = 1,q:\alpha = 0$ D. $p:$直線$l$的傾斜角為$\frac{\pi}{2},q:$直線$l$與$x$軸垂直
答案：C
解析：A選項中$p \Leftrightarrow q$，$p$是$q$的充分條件；B選項中偶函數滿足$f(-x) = f(x)$，故$p \Rightarrow q$，$p$是充分條件；C選項中$\cos\alpha = 1$時，$\alpha = 2k\pi(k \in \mathbb{Z})$，$\alpha = 0$只是其中一個解，故$p \nRightarrow q$，$p$不是充分條件；D選項中傾斜角為$\frac{\pi}{2}$的直線與$x$軸垂直，$p \Rightarrow q$，$p$是充分條件。故選C。
B組（一）選擇題2. 以下命題中，條件$p$是結論$q$的必要條件的是（ ）。A. $p:(x - 1)(x - 2) = 0,q:x = 2$ B. $p:x ＞ y,q:x^2 ＞ y^2$ C. $p:A \subseteq B,q:A \cap B \neq \varnothing$ D. $p:$函數$f(x)$是奇函數,$q:$函數$f(x)$的定義域關于原點對稱
答案：A
解析：必要條件即$q \Rightarrow p$。A選項中$q:x = 2$時，$(x - 1)(x - 2) = 0$，故$q \Rightarrow p$，$p$是$q$的必要條件；B選項中$q:x^2 ＞ y^2$時，$x ＞ y$不一定成立（如$x = -3,y = 2$），$q \nRightarrow p$；C選項中$q:A \cap B \neq \varnothing$時，$A \subseteq B$不一定成立（如$A = \{1,2\},B = \{2,3\}$），$q \nRightarrow p$；D選項中$q:$定義域關于原點對稱時，函數不一定是奇函數，$q \nRightarrow p$。故選A。
