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9．已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線y=x－1與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為則此雙曲線的方程是

[分析]　 本題主要考查雙曲線的基本知識，以及推理和計算技能．

本題要求確定雙曲線的方程，而雙曲線的已知條件比較復雜，涉及到與已知直線相交的背景．在這種情況下，宜用待定系數法求解．

因為雙曲線的中心在原點，點又是雙曲線的一個焦點．故雙曲線的方程可寫為

a>0為待定系數，可用不同方法求得．

解法1　 將y=x－1代人方程①，整理得

由直線y=x－1與雙曲線相交于M、N兩點，故此二次方程有不等的兩個實根分別為點M、N的橫坐標．從而MN中點的橫坐標為

解法2　 依題設，可記

其中t為某個常數，且t≠0．

由M、N在雙曲線上，得

將兩式相減，整理得

上述解法計算量偏大，為了快速解答，可采用定性與定量相結合的方法求解．

解法3　 由雙曲線與直線y=x－1有兩個交點M和N，且焦點在x軸上，可知雙曲線漸近線的斜率絕對值應大于1，由此排除B、C；其次，由MN的中點的橫坐標為可估計雙曲線的張口應比較大，D的可能性比較大．為此，作定量檢驗，將直線方程代人A所示的雙曲線得

[答案]　 D

8．已知方程的四個根組成一個首項為的等差數列，則|m－n|=

A．1　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　

[分析]　 本題主要考查二次方程根與系數的關系，等差數列等基本知識，以及數學思維和分析處理問題的能力．

注意到題設4次方程的兩個2次因式中，只有常數項不同，可知等差數列的4個項中首尾兩項應為其中一個因式的兩根，而中間兩項為另一因式的兩根．所以，在此基礎上，可用不同的引入方式，采取適當的計算程序，求得|m－n|的值．

解法1　 因為拋物線有公共的對稱軸x=1，又它們與x軸的4個交點的橫坐標(即題設方程的4個根)成等差數列，所以可設為

的一個根，則方程的另一個根為

解法3　 依題意可設原方程的4個根為

則對任意實數x，有

比較系數，得

(注：m、n的位置也可對調，不影響結果)．

解法4　 從解原方程入手．由

求得原方程的根為：

由題設，這4個根組成首項為的等差數列，所以，必有1－m>0，1－n>0，且

[答案]　 C

7．設處切線的傾斜角的取值范圍為，則點P到曲線y=f(x)對稱軸距離的取值范圍為

[分析]　 本題主要考查導數的幾何意義，多項式函數求導數的方法，點到直線的距離，二次函數的性質等基本知識，以及推理和計算技能．

解答本題，宜先求出的取值范圍，進而根據曲線y=f(x)對稱軸的方程，便可求得點P到對稱軸距離的取值范圍，如解法1．此外，也可用特殊值排除法求解．

解法1　 依題設知點P的橫坐標必須且只須滿足

因為拋物線y=f(x)的對稱軸為直線：

所以點P到直線的距離為

解法2　 取特殊值a=1，b=－2，c=0．可知曲線y=f(x)的對稱軸為直線l：x=1．曲線在點P處切線的斜率為

由及tanx的單調性，依題設知k的取值范圍為[0，1]，所以

得點P到對稱軸距離的取值范圍為據此，可排除選項A，C，D，得答案B．

[答案]　 B

6．棱長為a的正方體中，連結相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為

[分析]　 本題主要考查棱柱、棱錐等多面體的基本知識和體積計算，以及基本的空間想象能力．

題設的八面體(記為ABCDEF)如圖所示．圖中將原正方體略去，以使圖線清晰．該八面體的三條軸線AC、BD、EF兩兩互相垂直，且AC=BD=EF=a，

把這個八面體看作共底(BFDE)的兩個四棱錐的組合體，應用棱錐體積計算公式，得所求的八面體的體積為

對于空間想像力比較好的考生，不作圖便可由心算得出答案．心算的方法比較多，例如，與上法共通地把八面體看作共底的兩個四棱錐，底面積是正方體的一個面的面積之半，錐高是正方體棱長之半，即可得體積為又如，由對稱性，將正方體切成相等的八個小正方體，這時題沒的八面體也被切成八個相等的三棱錐，每個三棱錐的體積等于小正方體的體積的所以八面體的體積是正方體體積的即

[答案]　 C

[分析]　 本題主要考查復數的四則運算，以及簡單的數值計算技能．

解答本題必須正確用好復數的四則運算法則，既可用復數的代數形式進行演算，也可用三角形式進行演算．

[答案]B

[分析]　 本題主要考查三角函數的基礎知識和基本三角函數公式的簡單應用，以及基本的計算技能．

作為常規解法，可先由已知條件求sin x，推得tan x的值，再應用倍角正切公式求得答案，如解法1；作為靈活解法，可用估值快速求解，如解法2．

(注：也可用下式得解：

而不需求tanx．)

[答案]　 D

A．(－1，1)　　　　　　　　　　　　　 B．(－1，+∞)

C．(－∞，－2)∪(0，+∞)　　　　 D．(－∞，－1)∪(1，+∞)

[分析]　 本題主要考查分段函數的概念、指數函數與冪函數的性質、不等式組的求解等基礎知識，以及簡單的推理計算能力．

根據函數f(x)的分段表達式，畫個草圖可快速判斷，如解法4；也可將不等式化為等價的不等式組求解，如解法1；也可用特殊值排除法求解，如解法2；還可以利用單調性，結合解方程求解，如解法3．

解不等式組①得解不等式組②得綜合得的取值范圍為(－∞,－1)∪(1，+∞)．

解法2　 由排除A和B；由f(0.04)=0.2<1，排除C，得答案D．

解得x=－1；由

解得x=1．

因為f(x)在(－∞，0]上是減函數，在(0，+∞)上是增函數，所以得的取值范圍為(－∞，1)∪(1，+∞)．

[答案]　 D

4．O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

則P的軌跡一定通過△ABC的

A．外心　　　　　 B．內心　　　　　　　　 C．重心　　　　　　　　 D．垂心

[分析] 　本題主要考查平面向量的線性運算等基本知識和計算技能．

解法1　 為書寫方便與直觀起見，宜作圖表示(如下圖)．圖中，有

則動點P滿足

因此，點P的軌跡一定通過△ABC的內心．得答案為B．

解法2　 當λ>0時，

因為A，B，C不共線，

所以AP平分∠BAC，

得點P的軌跡一定通過△ABC的內心．

解法3　 考慮特殊情形，取△ABC為等腰直角三角形，即：如圖．

這時，△ABC的外心為AC的中點D，垂心為點B．而由題設知點P的軌跡是由點A出發，方向為的射線，不經過點D，也不經過點B，故排除A、D兩個選項．其次，由于所以射線不平分BC，即不通過△ABC的重心，排除選項C．從而得選項B為答案．

[答案]　 B

[分析]　 本題主要考查對數函數、指數函數的性質和求反函數的方法，以及基本的計算技能．

根據反函數的概念，求給定函數的反函數，可用解方程的方法，如解法1；作為選擇題，還可用特殊值排除法求解，如解法2．

解法1　 解方程不等式組

得y>O，因此，所求的反函數為

解法2　 因為點(2，ln3)在原函數的圖像上，所以點(1n3，2)應在反函數的圖像上．因此，由In3>0，可排除選項C、D；由

可排除A，應取B作答．

[答案]　 B

22．(本小題滿分14分)

　　　　 數列的前n項和為S_n，滿足：，

　 (1)求證：數列是等比數列；

　 (2)設數列的公比為，數列滿足的

通項公式；

　 (3)記

21．(本小題滿分12分)

已知△OPQ的面積為S，且；

　 (1)若，求向量的夾角的取值范圍；

　 (2)設以O為中心，P為焦點的橢圓經過點Q，當上變

動時，求的最小值，并求出此時的橢圓方程.

20．(本小題滿分12分)

(理)設函數是定義在上的奇函數，當時，

為實數)

①求：當的解析式；

②若在區間上為增函數，求a取值范圍；

③求在區間上的最大值.

　 (文)已知，函數，

①當時，判斷函數上單調性，并加以證明；

②求的取值范圍，使上為增函數.

19．(本小題滿分12分)

　　　　 某工廠去年的某產品的年產量為100萬只，每只產品的銷售價為10元，固定成本

為8元. 今年，工廠第一次投入100萬元(科技成本)，并計劃以后每年比上一年多投入

100萬元(科技成本)，預計產量年遞增10萬元，第n次投入后，每只產品的固定成本

為為常數，)，若產品銷售價保持不變，第n次

投入后的年利潤為萬元.

　 (1)求k的值，并求出的表達式；

　 (2)問從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？

18．(本小題滿分12分)

　　　　 如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，，E、F、G

　 分別是AC、AA₁、AB的中點.

①求異面直線AC₁與GF所成的角.

②求二面角B₁-EG-B的大小.