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例1、鋼琴內部有許多平行弦構成，弦從長到短依次排列，第一根弦長為a,第二根弦長為aq,第三根為aq²,……,后一根與前一根的比都是q。在各弦所在平面內，以第一根弦所在直線為y軸，各弦底端與弦垂直的直線為x軸，建立直角坐標系，將弦的另一端點A₁,A₂,A₃,……,A₁₃用一光滑曲線連接起來，如圖：

(1)寫出這些點(x_k,y_k)所在曲線的函數關系式

解答：y=aq^x-1

(2)能否由一個指數函數的圖象經過平移得到(1)中所得函數的圖象，如果可以，寫出其函數關系式，并說明平移過程

分析解答：要化成一個指數函數，可設a=q^c,這樣c=log_qa,有y=q^x+c-1=,它可以看作由y=q^x沿x軸平移log_qa-1個單位得到

(3)已知弦振動的頻率與弦長成反比，而且每隔12個弦，音頻變為原來的2倍（即音調提高八度），試求q的值

解答：y₁=2y₁₃, a=2aq¹²q==

說明：通過此例，了解函數圖象的描點法作圖的實際背景，進一步把握指數與對數的運算

例2、A、B、C三個家庭各有余款2萬元，準備將來為子女上大學用而存入銀行教育儲蓄，教育儲蓄分三年、六年、九年三個等級，有工行和建行兩個銀行都可以存入，都不計利息稅，其年利率與結算方式見下表：

銀行

三年期%

六年期%

九年期%

結算方式

工行

2

2.25

3

以單利計息：每年只以本金計利息，即：利息=本金×年利率×年數

建行

1.75

2.25

2.75

以復利計息：每年以前幾年的本利和計息

（1）如果A、B、C三個家庭分別計劃存三年、六年、九年，試說明：三個家庭各應選存的銀行，并求出到時取出的本利和（精確到整數元）

解答：A家庭：y_工=2×(1+3×2%)=2.12（萬元）=21200元，y_建=2×（1+1.75）³=2.1067(萬元)≈21067元，所以家庭A選工行，到期本利共21200元

B家庭：y_工=2×(1+3×2.25%)=2.135（萬元）=21350元，y_建=2×（1+2.25）³=2.1381(萬元)≈21381元，所以家庭B選建行，到期本利共21381元

C家庭：y_工=2×(1+3×3%)=2.18（萬元）=21800元，y_建=2×（1+2.75）³=2.1696(萬元)≈21696元，所以家庭C選工行，到期本利共21696元

(2)如果國家政策調整為：建行教育儲蓄統一調整為2%，工行統一調整為2.25%,結算方式不變，存款年限可以為1~9中的任何一年，試說明對存款者而言，在什么情況下在工行、什么情況下在建行存款更有利？

解答：設本金為a元，經過x年，y_建=a(1+2%)^x=a1.02^x,y_工=a(1+2.25%x)=a(1+0.0225x)

作y=1.02^x，與y=0.0225x+1的圖象,有交點為(0,1)，在正整數集上恒有1.02^x>0.0225x+1

故選建行

(3)由此探究在a>1時，指數函數y=a^x與一次函數y=cx+d(c≠0)交點的個數。

（至多兩個）

說明，通過此例，體會上學不易的現實，了解函數零點分布的特征與圖象的關系。

例3、如何作函數y=x+(k為正常數)的大致圖象？

分析：作一個函數圖象，用描點法難于畫出時，一般先考慮函數的性質，如：如果奇偶性，可以先畫出原點一側圖象，另一側對稱即可；畫一側時，可以先考慮單調性，再考慮它們近似于學過的哪個函數的圖象。

(1)判斷函數y=x+的奇偶性

解答：定義域為{x|x≠0，x∈R},關于原點對稱。而f(-x)=-f(x)所以函數為奇函數

(2)判斷函數y=x+在x>0上的單調性

解：對于任意x₂>x₁>0,f(x₂)-f(x₁)= (x₁x₂-k), >0,而x₂²>x₁x₂>x₁²,f(x₂)>f(x₁),∴如果x₁²≥k,則x₁x₂-k>0, f(x₂)>f(x₁),f(x) ↑,此時x₁≥；如果x₂²<k,x₁x₂-k<0,f(x₂)<f(x₁)，f(x) 單調減 ，此時x₂<.從而，在x>0上，函數y=x+的單調增區間是，減區間為

(3)函數f(x)= x+在x>0上位置如何？又如何彎曲？

解：f(x)= x+>x,說明在x>0上，函數的圖象在y=x的上方；其次，在x無限增大時，f(x)無限趨近于x,說明函數圖象無限趨近y=x；在無限趨近于0時，f(x)無限趨近于,說明它與一個反比例函數圖象很接近。

 (4)作出函數在x>0上的草圖，從而得到在定義域上草圖。通過圖象說明函數的單調區間及最值情況。

解：草圖如圖：

函數f(x)=x+的單調增區間是：及；單調減區間是及。函數在定義域內沒有最值。

說明：通過此例，將二分法近似思想用到函數圖象上，也對這一常見函數有了更清楚的認識。

1、在函數單調增的定義中，對區間D任意x₁、x₂，如果 x₁<x₂，f(x₁)<f(x₂)，稱函數y=f(x)在區間D上單調增。如果令x₂-x₁=d,x₁=x,則此定義變形為“對區間D內任意x及正數d,x+d在D中，若f(x+d)>f(x),則函數y=f(x)在區間D上單調增”。仿此，寫出函數y=f(x)在區間D上單調減的變形定義_________

2、我們學習的函數多數是可以用列表法、圖象法或解析法表示的，這種函數稱具體函數，相應的不能用這三種表示方法中任何一種表示的稱抽象函數。有些抽象函數也有其實例背景，如：一個函數y=f(x)對任意a,b滿足f(a+b)=f(a)+f(b),這里沒有明確指明是那個函數，屬于抽象函數，但是我們知道，一個函數y=ax(a≠0)是滿足這個給出的條件的，我們稱此函數y=ax(a≠0)為抽象函數的背景函數。根據此規定，寫出滿足下列條件的一個背景函數（只寫出一個即可，不必寫全）

(1)對任意a,b,f(ab)=f(a)+f(b)；(2) 對任意a,b,f(a+b)=f(a).f(b);(3) 對任意a,b,f(ab)=f(a).f(b)

3、一個函數y=f(x)既是奇函數，又是偶函數，這樣的函數解析式為_______，這樣的函數有________個

4、心理學家發現，一般情況下，學生注意力隨教師講課時間的變化而變化：講課開始時，學生注意力逐步增加，中間有段時間學生的注意力保持較為理想狀態，以后學生注意力逐漸分散。研究發現，注意力y隨時間t(分鐘)的函數關系如下：

y=f(t)=

(1)講課開始后第5分鐘與第25分鐘比較，何時更為集中？

(2)講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續多少分鐘？

(3)一道綜合題，需要講解24分鐘，但要求學生注意力最低達到180，能否經過適當安排，老師在學生注意力達到所需狀態下講完此題？說明理由。

5、已知函數f(x)=  (1)計算f(-7),f(0),f(-4)的值；(2)寫出當6≤x<10,2≤x<6,-2≤x<2時函數f(x)的解析式；  (3)（選作）由此推測f(x)的解析式

6、銷售甲、乙兩種商品所得的利潤分別是P萬元和Q萬元，它們與投入資金t萬元關系有經驗公式：P=t,Q=.今將3萬元投入經營甲、乙兩種商品，其中對甲商品投入x萬元

(1)寫出總利潤y萬元與x的函數關系式

(2)問對甲商品投資多大時，總利潤最大，最大為多少萬元？

7、某市現有人口100萬，如果年自然增長率為1.2%.(1)寫出該市人口數y萬與年份x年的函數關系式；(2)計算10年后該市的人口總數（精確到0.1萬人）；(3)大約多少年后，人口總數達到120萬？(4)要使20年后，該市人口不超過120萬人，年自然增長率應控制在多少？

8(選作) （1）作出點(-1,2)、(1,2)、(2,4)關于直線y=x的對稱點，由此可以得到點(x₀,y_.0)關于直線y=x的對稱點是什么？

(2)由于直線y=x+1相當于將直線y=x向左平移一個單位（或向上平移一個單位）得到，相應的對稱點也進行了平移。以上各點關于直線y=x+1的對稱點呢？

(3)點(x₀,y₀)關于y=x+b對稱點為什么呢？

(4)仿上方法探究點(x_0,y₀)關于直線y=-x+b的對稱點又是什么？

(5)由上面你能得到什么一般結論？

[答案]1、對區間D內任意x及正數d,x+d在D中，若f(x+d)<f(x),則函數y=f(x)在區間D上單調減

2、(1)寫一個對數函數即可；(2)寫一個指數函數；(3)寫一個冪函數

3、f(x)=0,無數個（定義域關于原點對稱即可，隨意）

4、(1)25分鐘； (2)10,10；   (3)求出180之上的時間為28.57-4>24可以完成

5、(1)f(7)=14,f(0)=15,f(-4)=15

(2) 6≤x<10時,f(x)=x+7；2≤x<6時,f(x)=x+11;-2≤x<2時,f(x)=x+15

(3)f(x)=

6、(1)y=,0≤x≤3；(2)甲投入0.75萬元，最大利潤1.05萬元

7、(1)y=100×1.012^x；(2)112.7;(3)15年；(4)0.9%之內

8、(1)關于y=x的對稱點分別是(2,-1),(2,1),(4,2)如圖1,猜想：點(x₀,y_.0)關于y=x的對稱點為(y₀,x₀)

(2) 關于直線y=x+1的對稱點分別為(1,0),(1,2),(3,3).如圖2

(y₀-b,x₀+b)

(3) (y₀-b,x₀+b)

(4)點(x₀,y₀)關于y=-x+b對稱點為(b-y₀,b-x₀)

(5)關于直線y=±x+b對稱點規律：從對稱軸方程中解出 x,y，再將原來點的坐標代入方程的右邊，即可得到對稱點的橫、縱坐標