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2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎，利用不等式的性質及函數的單調性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數形結合是解不等式的常用方法．方程的根、函數的性質和圖象都與不等式的解密切相關，要善于把它們有機地聯系起來，相互轉化和相互變用．學科網

3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系，對含有參數的不等式，運用圖解法，可以使分類標準更加明晰． 學科網

4．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法．要依據題設、題斷的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點．比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)．學科網

 5．證明不等式的方法多樣，內容豐富、技巧性較強．在證明不等式前，要依據題設和待證不等式的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經過一系列的運算而導出待證的不等式，前者是“執果索因”，后者是“由因導果”，為溝通聯系的途徑，證明時往往聯合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的．學科網

6．不等式應用問題體現了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數的最值時，要特別注意“正數、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件．利用不等式解應用題的基本步驟：1.審題，2.建立不等式模型，3.解數學問題，4.作答.學科網

7．通過不等式的基本知識、基本方法在代數、三角函數、數列、復數、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應用，深化數學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學生數學素質及創新意識．學科網

1.解不等式的基本思想是轉化、化歸，一般都轉化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解.學科網

2.解含參數不等式時，要特別注意數形結合思想，函數與方程思想，分類討論思想的錄活運用.學科網

3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規證法的基礎上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調整放縮的度.學科網

4．根據題目結構特點，執果索因，往往是有效的思維方法.學科網

b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．學科網

分析：讀懂并能揭示問題中的數學實質，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點？學科網

解：依題可知，本題等價于求函數x=f(y)=(y+3)?|y-1|+(y+3)學科網

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(2)當1≤y≤3時，_學科網

所以當y=1時，= 4．學科網

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簡評：題設條件中出現集合的形式，因此要認清集合元素的本質屬性，然后結合條件，揭示學科網

其數學實質．即求集合M中的元素滿足關系式學科網

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例2．已知非負實數，滿足且，則的最大值是（  ） 學科網

 A．             B．              C．          D． _學科網

解：畫出圖象，由線性規劃知識可得，選D學科網

例3．數列由下列條件確定：_學科網

（1）證明：對于,學科網

（2）證明：對于．學科網

證明：（1）_學科網

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（2）當時，_學科網

=.學科網

例4．解關于的不等式：_學科網

分析：本例主要復習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關鍵不是對參數進行討論，而是去絕對值時必須對末知數進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集.學科網

解：當_學科網

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例5．若二次函數y=f(x)的圖象經過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍．學科網

分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數，所以應先將f(x)的表達形式寫出來．即可求得f(-2)的表達式，然后依題設條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．學科網

解：因為y=f(x)的圖象經過原點，所以可設y=f(x)=ax2+bx．于是學科網

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解法一(利用基本不等式的性質)學科網

不等式組(Ⅰ)變形得學科網

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(Ⅰ)學科網

所以f(-2)的取值范圍是[6，10]．學科網

解法二(數形結合)學科網

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建立直角坐標系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10．學科網

解法三(利用方程的思想)學科網

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又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而學科網

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　　　　　　　　　 ①學科網

所以　　　 3≤3f(-1)≤6．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②學科網

①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．學科網

簡評：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現以下一種錯解：學科網

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．學科網

(2)對這類問題的求解關鍵一步是，找到f(-2)的數學結構，然后依其數學結構特征，揭示其代數的、幾何的本質，利用不等式的基本性質、數形結合、方程等數學思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數學的素養一定會迅速提高．學科網

例6．設函數f(x)=ax²+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=x，均不相交.試證明對一切都有.學科網

分析：因為x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設f(x)=a(x-x₀)²+f(x0)．學科網

證明：由題意知，a≠0．設f(x)=a(x-x₀)²+f(x₀)，則_學科網

又二次方程ax²+bx+c=±x無實根，故學科網

Δ₁=(b+1)²-4ac＜0，Δ₂=(b-1)²-4ac＜0．學科網

所以(b+1)²+(b-1)²-8ac＜0，即2b²+2-8ac＜0，即b²-4ac＜-1，所以|b²-4ac|＞1．學科網

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簡評：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數有關的不等式問題時，如果針對題設條件，合理采取二次函數的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．學科網

例7．某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同.為了保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛？學科網

解：設2001年末的汽車保有量為，以后每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛.由題意得學科網