2009年福建省普通高中畢業班質量檢查
理 科 數 學
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），第Ⅱ卷第21題為選考題，其他題
為必考題。本試卷共5頁。滿分150分。考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．考生作答時，將答案答在答題卡上。請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內
作答，超出答題區域書寫的答案無效。在草稿紙、試題卷上答題無效。
3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；
非選擇題答案使用
4．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。
5．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
參考公式：
樣本數據
的標準差
樣本平均數；
柱體體積公式
其中S為底面面積，h為高
錐體體積公式
其中S為底面面積，h為高
球的表面積、體積公式
，
其中R為球的半徑
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有
1． 已知
，i不虛數單位，若
，則x的值等于
A．
B．
C．2 D．6
2． 設向量
，
，且
∥
，則銳角
為
A．
B．
C．
D．
3． “
”是“線
與圓
相交”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4． 函數
的圖像大致為
 |
A B C D
5． 設、
為不重合的平面，m、n為不重合的直線，則下列命題正確的是
A．若
，
，
，則
B．若
，
，m∥n，則∥
C．若m∥，n∥，m
n，則
D．若
，
，
，則
6． 關于函數
圖像的對稱性，下列說法正確的是
A．關于直線
對稱
B．關于直線
對稱
C．關于點
對稱
D．關于點
對稱
7． 右圖是計算函數
的值的程序框圖，
在①、②、③處應分別填入的是
A．
，
，
B．，，
C．，，
D．，，
8． 已知直線
與直線
互相垂直，則
的最小值為
A．5 B．
9． 已知函數
滿足
，且當
時，
，
則
，
，
的大小關系是
A．
B．
C．
D．
10．
的展開式中，
的系數可以表示從n個不同物體中選出k個的方法總數。下列
各式的展開式中
的系數恰能表示從重量分別為1、2、3、…、10克的砝碼（每種砝
碼各一個）中選出若干個，使其總重量恰為8克的方法總數的選項是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。把答案填在答題卡相應位置。
11．為了測算如圖陰影部分的面積，作一個邊長為6的正方形將
其包含在內，并向正方形內隨機投擲800個點。已知恰有
200個點落在陰影部分，據此，可估計陰影部分的面積是
_____________。
12．已知x，y滿足約束條件
，則
的最大值是_____。
13．如圖，直線
與曲線
所圍圖形的
面積是_________。
14．在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、
b、c，且
，則
______。
15．已知橢圓
的中心在原點、焦點在x軸上，拋物線
的頂點在原點、焦點在x軸上。
小明從曲線、上各取若干個點（每條曲線上至少取兩個點），并記錄其坐標
。
由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓上，也不在拋物線上。小明的記
錄如下：
0
2
3
2
0
據此，可推斷橢圓的方程為_______________。
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分13分）
在等比數列
中，
，
。
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）令
，求數列
的前n項和
。
17．（本小題滿分13分）
甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓。現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中
隨機抽取8次，記錄如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）用莖葉圖表示這兩組數據；
（Ⅱ）現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參
加合適？請說明理由；
（Ⅲ）若將頻率視為概率，對甲同學在今后的3次數學競賽成績進行預測，記這3次成
績中高于80分的次數為
，求的分布列及數學期望
。
18．（本小題滿分13分）
四棱錐P－ABCD的底面與四個側面的形狀和大小如圖所示。
 |
（Ⅰ）寫出四棱錐P－ABCD中四對線面垂直關系（不要求證明）；
（Ⅱ）在四棱錐P－ABCD中，若E為PA的中點，求證：BE∥平面PCD；
（Ⅲ）在四棱錐P－ABCD中，設面PAB與面PCD所成的角為
，求
的值
19．（本題滿分13分）
已知橢圓C的離心率
，長軸的左右端點分
別為
，
。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線
與橢圓C交于P、Q兩
點，直線
與
交于點S。試問：當
m變化時，點S是否恒在一條定直線上？
若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由。
20．（本小題滿分14分）
已知函數
（Ⅰ）求函數的極值；
（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點
，
，如果存在曲線上的點
，且
，使得曲線在點
處的切線
∥
，則稱為弦
的伴隨切線。特別地，當
時，又稱為的λ－
伴隨切線。
（?）求證：曲線
的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；
（?）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有
伴隨切線？若存在，給
出一條這樣的曲線 ，并證明你的結論； 若不存在 ，說明理由。
21．本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分。
如果多做，則按所做的前兩題計分。作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應
的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。
（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
已知
，矩陣
對應的線性變換把點
變成點
，
求矩陣A的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量。
（2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標系與參數方程
已知直線經過點
，且傾斜角為，圓C的參數方程為
（
是參數）。直線與圓C交于
、
兩點，求、兩點間的距離。
（3）（本小題滿分7分）選修4－5：不等式選講
解不等式：
。
2009年福建省普通高中畢業班質量檢查
理科數學試題參考解答及評分標準
說明：
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
C
D
D
B
C
B
A
二、填空題：本大題考查基礎知識和基本運算。每小題4分，共20分。
11、9 12、5 13、
14、
15、
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16、（本小題滿分13分）
在等比數列中，，。
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）令，求數列的前n項和。
16、本小主要考查等比數列、數列求和等基礎知識，考查運算求解能力。滿分13分
解：（Ⅰ） 設等比數列
的公比為q。
依題意，得
……………………………………………… 2分
解得
， ……………………………………………………………… 4分
∴數列的通項公式：
。 ………………………… 7分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得
，
。
。 ……………………………………………… 10分
∴
。 ………………………………………………… 13分
17、（本小題滿分13分）
甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓。現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中
隨機抽取8次，記錄如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）用莖葉圖表示這兩組數據；
（Ⅱ）現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參
加合適？請說明理由；
（Ⅲ）若將頻率視為概率，對甲同學在今后的3次數學競賽成績進行預測，記這3次成
績中高于80分的次數為，求的分布列及數學期望。
17、本小主要考查概率、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力以及應用數學知識分析和解決實際問題的能力。滿分13分。
解：（Ⅰ） 作出莖葉圖如下：
 |
……………………………………… 4分
（Ⅱ） 派甲參賽比較合適。理由如下：
，
，
，
∵
，
，
∴甲的成績較穩定，派甲參賽比較合適。 ……………………………… 8分
注：本小題的結論及理由均不唯一，如果考生能從統計學的角度分析，給出其他合理回答，同樣給分。如
派乙參賽比較合適。理由如下：
從統計的角度看，甲獲得85分以上（含85分）的概率
，
乙獲得85分以上（含85分）的概率
。
∵
，∴派乙參賽比較合適。
（Ⅲ） 記“甲同學在一次數學競賽中成績高于80分”為事件A，
則
。 ………………………………………………………… 9分
隨機變量的可能取值為0、1、2、3，且
。
∴
，
。
所以變量的分布列為：
0
1
2
3
P
…………………………………………………………………………… 11分
。
（或
） ……………………………………………… 13分
18、（本小題滿分13分）
四棱錐P－ABCD的底面與四個側面的形狀和大小如圖所示。
 |
（Ⅰ）寫出四棱錐P－ABCD中四對線面垂直關系（不要求證明）；
（Ⅱ）在四棱錐P－ABCD中，若E為PA的中點，求證：BE∥平面PCD；
（Ⅲ）在四棱錐P－ABCD中，設面PAB與面PCD所成的角為，求
的值
18、本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關系等基礎知識；考查空間
想象能力，推理論證能力和運算求解能力。滿分13分。
解法一：
（Ⅰ）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，
AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD
…………………………………… 4分
注：多寫的按前四對給分，每正確一對，給一分。
CD⊥平面PAC也符合要求。
（Ⅱ）依題意AB、AD、AP兩兩垂直，分別以直線AB、AD、AP為x、y、z軸，
建立空間直角坐標第，如圖。 …………………………………………… 5分
則
，
，
，
。
∵E是PA中點，∴點E的坐標為
，
，
，
。
設
是平面PCD的法向量。
由
，即
取，得
為平面PCD的一個法向量。 ……………… 6分
∵
，∴
， ……………………… 7分
∴
∥平面PCD。又BE
平面PCD，∴BE∥平面PCD。 ………… 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ），平面PCD的一個法向量為， ………………… 10分
又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一個法向量為
…… 11分
∴
。 ………………………………………… 13分
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）取PD的中點F，連接EF、CF。
∵E、F分別是PA、PD的中點，
∴EF∥AD，EF
AD，∴EF∥BC，且EF
BC，
∴四邊形BEFC是平行四邊形，∴BE∥CF。 ………………………… 6分
又∵CF
平面PCD，BE平面PCD，
∴BE∥平面PCD。 ……………………………………………………… 8分
（Ⅲ）依題意AB、AD、AP兩兩垂直，分別以直線AB、AD、AP為x、y、z軸，
建立空間直角坐標第，如圖。 …………………………………………… 9分
則，，。
∵E是PA中點，∴點E的坐標為，
，。
設是平面PCD的法向量。
由，即
取，得為平面PCD的一個法向量。 ……………… 10分
又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一個法向量為 …… 11分
∴。 ………………………………………… 13分
解法三：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）取AD的中點N，連接EN，BN，
∵E、N分別是PA、AD的中點，
∴EN∥平PD，又EN平面PCD，
∴EN∥平面PCD …………………………………………………………… 5分
在直角梯形ABCD中，BC∥AD且BCADDN，
∴四邊形BCDN是平行四邊形，BN∥CD。
又∵
平面PCD，∴BN∥平面PCD。 ……………………………… 6分
∵
，∴平面BEN∥平面PCD。……………………………… 7分
又BE平面BEN，∴BE∥平面PCD。 ………………………………… 8分
（Ⅲ）同解法二。
19、（本題滿分13分）
已知橢圓C的離心率，長軸的左右端點分
別為，。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線與橢圓C交于P、Q兩
點，直線與交于點S。試問：當
m變化時，點S是否恒在一條定直線上？
若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由。
19、本題主要考查直線、橢圓等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形
結合思想和化歸與轉化思想等。滿分13分。
解法一：
（Ⅰ）設橢圓
的方程為
。 ………………………… 1分
∵
，
，∴
，
。 ……………… 4分
∴橢圓的方程為
。 ……………………………………… 5分
（Ⅱ）取
得
，
直線的方程是
直線
的方程是
交點為
……………………………………………………… 7分
若
，由對稱性可知交點為
若點
在同一條直線上，則直線只能為
。 ………………… 8分
以下證明對于任意的
直線與直線的交點均在直線上。
事實上，由
得
即
，
記
，則
。………… 9分
設與交于點
由
得
設與交于點
由
得
……… 10分
， …………………………………………… 12分
∴
，即
與
重合，
這說明，當
變化時，點恒在定直線上。 ……………… 13分
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）取得，
直線的方程是直線的方程是
交點為 …………………………………………………………… 7分
取
得
，
直線的方程是
直線的方程是
交點為
∴若交點在同一條直線上，則直線只能為。 ……………… 8分
以下證明對于任意的直線與直線的交點均在直線上。
事實上，由
得即，
記，則。……………… 9分
的方程是
的方程是
消去
得
…………………………………… ①
以下用分析法證明
時，①式恒成立。
要證明①式恒成立，只需證明
即證
即證
……………… ②
∵
∴②式恒成立。
這說明，當變化時，點恒在定直線上。
解法三：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）由
得即。
記，則。…………… 6分
的方程是的方程是 …… 7分
由
得
………………… 9分
即
……………………………… 12分
這說明，當變化時，點恒在定直線上。 ……………… 13分
20、（本小題滿分14分）
已知函數
（Ⅰ）求函數
的極值；
（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點
，如果存在曲線上的點
，
且，使得曲線在點處的切線
，則稱
為弦的伴隨切線。
特別地，當
時，又稱為的λ-伴隨切線。
（?）求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；
（?）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出
一條這樣的曲線 ，并證明你的結論； 若不存在 ，說明理由。
20、本小題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形
結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想。滿分14分。
解法一：
（Ⅰ）
………………………………………………………… 2分
當
，
，函數在
內是增函數，
∴函數沒有極值。 …………………………………………………… 3分
當
時，令
，得
。
當變化時，
與變化情況如下表：
＋
0
－
單調遞增
極大值
單調遞減
∴當時，取得極大值
。
綜上，當時，沒有極值；
當時，的極大值為
，沒有極小值。 …………… 5分
（Ⅱ）（?）設
是曲線上的任意兩點，要證明
有伴隨切線，只需證明存在點
，使得
，且點不在上。 ………………………… 7分
∵
，即證存在
，使得
，即
成立，且點不在上。 ………………… 8分
以下證明方程
在
內有解。
記
，則
。
令
，
∴
，
∴
在
內是減函數，∴
。
取
，則
，即
。…… 9分
同理可證
。∴
。
∴函數在內有零點。
即方程在內有解
。……………… 10分
又對于函數
取，則
可知
，即點Q不在上。
是增函數，∴的零點是唯一的，
即方程在內有唯一解。
綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。
…………………………………………………………………………… 11分
（?）取曲線C：
，則曲線
的任意一條弦均有伴隨切線。
證明如下：
設
是曲線C上任意兩點
，
則
，
又
，
即曲線C：
的任意一條弦均有伴隨切線。 ………………… 14分
注：只要考生給出一條滿足條件的曲線，并給出正確證明，均給滿分。若只給曲
線，沒有給出正確的證明，不給分。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（?）設是曲線上的任意兩點，要證明
有伴隨切線，只需證明存在點，使得
，且點不在上。 …………………………… 7分
∵
，即證存在，使得，
即
成立，且點不在上。 …………… 8分
以下證明方程
在內有解。
設
。
則
。
記
，
∴
，
∴
在
內是增函數，
∴
。 …………………………………………… 9分
同理。
。
∴方程在內有解。 ………… 10分
又對于函數
，
∵
，
，
可知，即點Q不在上。
又
在內是增函數，
∴方程在內有唯一解。
綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。
…………………………………………………………………………… 11分
（?）同解法一。
21、（1）（本小題滿分7分）
已知
矩陣對應的線性變換把點
變成
，求矩陣A的特征值
以及屬于每個特征值的一個特征向量。
21（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
本小題主要考查矩陣與變換、矩陣的特征值與特征向量等基礎知識，考查運算求
解能力。滿分7分。
解：由
，得
………………………………………… 2分
矩陣A的特征多項式為
。 …………… 4分
令
，得矩陣A的特征值
，
。 ……………………… 5分
對于特征值，解相應的線性方程組
，得一個非零解
。
因此，
是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量。……… 6分
對于特征值
，解相應的線性方程組
，得一個非零解
。
因此，
是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量 ………… 7分
注：寫出的特征向量只要滿足
，
即可。
（2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標系與參數方程
已知直線經過點，且傾斜角為，圓C的參數方程為（
是參數）。直線與圓C交于、兩點，求、兩點間的距離。
（2）（本小題滿分7分）選修4－4：坐標系與參數方程
本小題主要考查圓的參數方程、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力。
滿分7分。
解法一：
將圓的參數方程化為普通方程，得
。……………………… 2分
直線的方程為
，即
。 ……………… 3分
圓心到直線的距離
， ……………………… 5分
所以
。 …………………………………………… 7分
解法二：
直線的參數方程為
，即
（t為參數），………… 1分
將圓的參數方程化為普通方程，得。……………………… 3分
將直線的參數方程代入圓的普通方程得：
，即
。 ………………………… 4分
∵
，
，………………………………………………… 5分
，
∴、兩點間的距離為
。 …………………………………………… 7分
（3）（本小題滿分7分）選修4－5：不等式選講
解不等式：。
（3）（本小題滿分7分）選修4－5：不等式選講
本小題主要考查絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力。滿分7分。
解： 當
時，原不等式可化為：
，解得：
或
。
∴。……………………………………………………………………… 2分
當
時，原不等式可化為：
，解得：
或
∴
。 ……………………………………………………………… 4分
當
時，原不等式可化為：
，解得。
∴。 …………………………………………………………………… 6分
綜上所述，原不等式的解集為
。 ………………… 7分
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