絕密★啟用前 試卷類型：A
2009年廣東省深圳市高三年級第二次調研考試
數學（文科） 2009.5
本試卷共6頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監考教師分發的考生信息條形碼是否正確；之后務必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學校、姓名和考生號，同時，將監考教師發放的條形碼正向準確粘貼在答題卡的貼條形碼區，請保持條形碼整潔、不污損。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上。不按要求填涂的，答案無效。
3．非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上，請注意每題答題空間，預先合理安排；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再做答。漏涂、錯涂、多涂的答案無效。
5．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卡交回。
參考公式：
若錐體的底面積為
，高為
，則錐體的體積為
；
若圓錐底面半徑為
，母線長為
，則圓錐的側面積為
．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知全集
，集合
，
，則集合
A．
B． 
C．
D．
2．“
”是“
”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．在空間直角坐標系
中，過點
作直線
的垂線
，則直線與平面
的交點
的坐標滿足條件
A．
B．
C．
D．
4．如右圖，一個空間幾何體的主(正)視圖、側(左)視圖都是周長為8、一個內角為60°的菱形及其一條對角線，俯視圖是圓及其圓心，那么這個幾何體的表面積為
A．
B．
C．
D．
5．已知離心率為
的曲線
，其右焦點與拋物線
的焦點重合，則的值為
A．
B．
C．
D．
6．若奇函數
在區間
上是增函數，又
=0，則不等式
的解集為
A．
B．
C．
D．
7．設數列
是等差數列，且
是數列的前
項和，則
A．
B．
C．
D．
8．已知直線
、
與函數
圖像的交點分別為
、
，與函數
圖像的交點分別為
、
，則直線
與
A．相交，且交點在第一象限
B．相交，且交點在第二象限
C．相交，且交點在第四象限
D．相交，且交點在坐標原點
9．在右程序框圖中，當
N
（n>1）時，函數
表示函數
的導函數.若輸入函數
，則輸出的函數可化為
A．
B．
C．
D．
10．某賓館有
N
間標準相同的客房，客房的定價將影響入住率．經調查分析，得出每間客房的定價與每天的入住率的大致關系如下表：
1. 每間客房的定價
2. 220元
3. 200元
4. 180元
5. 160元
6. 每天的住房率
7. 50ㄇ
8. 60ㄇ
9. 70ㄇ
10. 75ㄇ
對每間客房，若有客住，則成本為80元；若空閑，則成本為40元．要使此賓館每天的住房利潤最高，則每間客房的定價大致應為
A．220元 B．200元 C．180元 D．160元
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．本大題分為必做題和選做題兩部分．
（一）必做題：第11、12、13題為必做題（第13題前一空2分，后一空3分），每道試題考生都必須做答
11．已知向量
，向量
與
方向相反，且
，則實數
．
12．200輛汽車經過某一雷達地區，時速頻率分布直方圖如圖所示，則時速不低于
13．數列
的前項和是
，若數列的各項按如下規則排列：
則
，若存在正整數
，使
，
，則
．
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算第一題的得分．
14．（坐標系與參數方程選做題）已知點P是曲線
為參數，
上一點，O為原點．若直線OP的傾斜角為
，則點
的直角坐標為 ．
15．（幾何證明選講選做題）如右圖，、是兩圓的交點，
是小圓的直徑，
和
分別是
和
的延長線與大圓的交點，已知
，且
，則
= ．
三、解答題：本大題6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知復數
在復平面上對應的點為
．
（Ⅰ）設集合
，從集合中隨機取一個數作為
，從集合
中隨機取一個數作為
，求復數
為純虛數的概率；
（Ⅱ）設
，求點落在不等式組：
所表示的平面區域內的概率．
17．（本小題滿分12分）
如圖，已知點
點
為坐標原點，點在第二象限，且
，記
．高.考.資.源.網
（Ⅰ）求
的值；高.考.資.源.網
（Ⅱ）若
，求
的面積．
18．（本小題滿分14分）
在直三棱柱
中，
平面
，其垂足落在直線
上．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若
，
，
為
的中點，求三棱錐
的體積．
 |
19．（本題滿分14分）
已知函數
，且其導函數
的圖像過原點．
（Ⅰ）當
時，求函數
的圖像在
處的切線方程；
（Ⅱ）若存在
，使得
，求
的最大值；
（Ⅲ）當
時，求函數的零點個數．
20．（本題滿分14分）
已知等比數列的公比
，且
與
的一等比中項為
，
與
的等差中項為6．
（I）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設為數列的前項和，
，請比較
與
的大小；
（Ⅲ）數列中是否存在三項，按原順序成等差數列？若存在，則求出這三項；若不存在，則加以證明．
21．（本小題滿分14分）
如圖，已知橢圓
的上頂點為，右焦點為
，直線
與圓
相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點，且
求證：直線過定點，并求出該定點
的坐標．
2009年深圳市高三年級第二次調研考試數學（文科）答案及評分標準
說明：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
C
B
C
B
D
D
C
C
二、填空題：本大題每小題5分；第13題第一空2分,第二空3分;第14、15兩小題中選做一題，如果兩題都做，以第14題的得分為最后得分)，滿分20分．
11．
. 12．76. 13．
，
．
14．
． 15．
.
三、解答題：本大題6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知復數在復平面上對應的點為
.
（Ⅰ）設集合，從集合中隨機取一個數作為
，從集合
中隨機取一個數作為
,求復數為純虛數的概率；
（Ⅱ）設,求點落在不等式組：
所表示的平面區內的概率.
解：(1)記 “復數為純虛數”為事件
∵組成復數
的所有情況共有12個：
，
，
，
，且每種情況出現的可能性相等，屬于古典概型.
……2分
其中事件包含的基本事件共2個: 
………4分
∴所求事件的概率為
………………6分
（2）依條件可知,點均勻地分布在平面區域
內,
屬于幾何概型. 該平面區域的圖形為右圖中矩形
圍成的區域, 面積為
……8分
所求事件構成的平面區域為
,其圖形如下圖中的三角 第16題圖
形
(陰影部分)
又直線
與軸、軸的交點分別為
,
所以三角形的面積為
……10分
∴所求事件的概率為
………………12分
17．（本小題滿分12分）
如圖, 已知點
點
在第二象限，且
，
為坐標原點，記．高.考.資.源.網
（Ⅰ）求的值；高.考.資.源.網
（Ⅱ）若學科,求的面積．
解：(1)
點的坐標為
，
………………3分
……………6分
(2)（解法一）在
中， 
，
，
第17題圖
，
………10分
的面積
………………12分
（解法二）設
，由，得
，
………8分
解得：
，或
又點在第二象限，故.
………10分
的面積
………12分
18．（本小題滿分14分）
在直三棱柱
中， 
平面
，其垂足
落在直線
上.
(Ⅰ)求證：
;
(Ⅱ)若
，
,為的中點，求三棱錐
的體積.
（Ⅰ）證明：
三棱柱 
為直三棱柱，
平面
，
又
平面，
------------------------------------------------------2分
平面，且平面，
.
又 
平面
,
平面,
，
平面
，----------------------------5分
第18題圖
又
平面
，
-----------------------------------7分
（2）在直三棱柱 中，
.
平面，其垂足落在直線上,
.
在
中，，
，
,
在
中， 
--------------------------------9分
由（1）知平面，
平面,從而
為
的中點，
-----------------------11分
---------------------14分
19.（本題滿分14分）
已知函數
，且其導函數
的圖像過原點.
(Ⅰ)當
時,求函數
的圖像在
處的切線方程;
(Ⅱ)若存在
,使得
,求
的最大值；
(Ⅲ)當
時，求函數的零點個數.
解: 
,
由
得 
,
.---------------------2分
(Ⅰ) 當時, 
,
，
,
所以函數的圖像在處的切線方程為
,即
--------------------4分
(Ⅱ) 存在,使得
,
，
，
當且僅當
時，
所以的最大值為
.
-----------------9分
極大值
極小值
(Ⅲ) 當時，
的變化情況如下表：
-
---11分
的極大值
，的極小值
又
，
.
所以函數在區間
內各有一個零點，
故函數共有三個零點。--------------------14分
注：①證明的極小值
也可這樣進行:
設
，則
當
時, 
,當
時, 
,函數
在區間
上是增函數,在區間
上是減函數,故函數在區間
上的最大值為
,從而的極小值.
②證明函數共有三個零點。也可這樣進行:
的極大值，的極小值,
當 無限減小時，無限趨于
當 無限增大時，無限趨于
故函數在區間
內各有一個零點，
故函數共有三個零點。--------------------14分
20．（本題滿分14分）
已知等比數列
的公比
,且
與
的一等比中項為
,
與
的等差中項為
.
（I）求數列的通項公式;
（Ⅱ）設
為數列的前
項和,
,請比較
與
的大小；
（Ⅲ）數列中是否存在三項,按原順序成等差數列?若存在，則求出這三項；若不存在，則加以證明.
解: （I）由題意得
,解得
或
---------------2分
由公比,可得
.--------------------3分
故數列的通項公式為
--------------------5分
（Ⅱ）
,--------------------6分
，
，
.--------------------8分
當
或為正偶數時, 
--------------------9分
當正奇數且
時, 
---------10分
（Ⅲ）假設數列中存在三項
成等差數列, ---------11分
則
,即
,---------12分
由
知
為奇數, 
為偶數,從而某奇數
某偶數, 產生矛盾. -------13分
所以數列中不存在三項,按原順序成等差數列. --------14分
21．（本小題滿分14分）
已知橢圓
的上頂點為,右焦點為
,直線
與圓
相切.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設
是圓
上的點，點
是定點，斜率為
且過點的直線
與橢圓相交于、
兩點，若
是與無關的值，求點、的坐標.
解: （Ⅰ）將圓的一般方程
化為標準方程 
，
圓的圓心為
,半徑
. --------------------1分
由
,
得直線
,
即
,--------------------2分
由直線與圓相切,得
,
或
(舍去). -------------------4分
第21題圖
當時, 
, 故橢圓的方程為
-------------------5分
（Ⅱ）設
,直線
,代入橢圓的方程
并整理得: 
, -------6分
設
、
,則
是上述關于的方程兩個不相等的實數解，
-------8分
（Ⅱ）若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點，且
求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.
解: （Ⅰ）將圓的一般方程化為標準方程 ，
圓的圓心為,半徑. --------------------1分
由,得直線,即,--------------------2分
由直線與圓相切,得, 
或(舍去). -------------------4分
當時, , 故橢圓的方程為-------------------5分
（Ⅱ）(解法一)由知
,從而直線
與坐標軸不垂直, --------------6分
由可設直線的方程為
，直線
的方程為
----------------7分
將代入橢圓的方程并整理得: 
,
解得
或
,因此的坐標為
,即
---------9分
將上式中的換成
,得
.------------------10分
直線的方程為
------------------11分
化簡得直線的方程為
，------------------13分
因此直線過定點
.------------------14分
(解法二)
若直線存在斜率，則可設直線的方程為：
， -------1分
代入橢圓的方程并整理得: 
, -------6分
由與橢圓相交于
、
兩點，則是上述關于的方程兩個不相等的實數解，從而
-------8分
由得
，
整理得：
由
知
.
此時
, 因此直線過定點.-------12分
若直線不存在斜率，則可設直線的方程為：
，
將代入橢圓的方程并整理得: 
,
當
時, 
,直線與橢圓不相交于兩點，這與直線與橢圓相交于、兩點產生矛盾!
當
時, 直線與橢圓相交于
、
兩點，
是關于的方程的兩個不相等實數解，從而
但
,這與
產生矛盾! ------13分
因此直線過定點.-------14分
注：對直線不存在斜率的情形，可不做證明.
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