題目列表(包括答案和解析)
數(shù)列
，滿足
（1）求
，并猜想通項公式
。
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式求解，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。第一問利用遞推關(guān)系式得到
，
，
，
，并猜想通項公式
第二問中，用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。
①對n=1，等式成立。
②假設(shè)n=k
時，
成立，
那么當(dāng)n=k+1時，
，所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立可證。
數(shù)列，滿足
（1），，，并猜想通項公。 …4分
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。①對n=1，等式成立。 …5分
②假設(shè)n=k時，成立，
那么當(dāng)n=k+1時，
，
……9分
所以
所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立 ……11分
由①②知，猜想對一切自然數(shù)n均成立
設(shè)向量
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若函數(shù)
，求
的最小值、最大值.
【解析】第一問中，利用向量的坐標(biāo)表示，表示出數(shù)量積公式可得
第二問中，因為，即
換元法
令
得到最值。
解：（I）
（II）由（I）得：
令
.
時，
已知
是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，
是等比數(shù)列，且
，
.
（Ⅰ）求數(shù)列與的通項公式；
（Ⅱ）記
，
，證明
（）.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列
的公差為d，等比數(shù)列
的公比為q.
由
，得
，
，
.
由條件，得方程組
，解得
所以
，
，
.
（2）證明：（方法一）
由（1）得
①
②
由②-①得
而
故
，
（方法二：數(shù)學(xué)歸納法）
① 當(dāng)n=1時，
，
，故等式成立.
② 假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即
，則當(dāng)n=k+1時，有：
即
，因此n=k+1時等式也成立
由①和②，可知對任意，成立.
如圖，
是△
的重心，
、
分別是邊
、
上的動點，且、、三點共線．
（1）設(shè)
，將
用
、
、
表示；
（2）設(shè)
，
，證明：
是定值；
（3）記△與△
的面積分別為
、
．求
的取值范圍．
（提示：
【解析】第一問中利用（1）
第二問中，由（1），得
；①
另一方面，∵是△的重心，
∴
而
、
不共線，∴由①、②，得
第三問中，
由點、的定義知
，
，
且
時，
；
時，
．此時，均有
．
時，
．此時，均有
．
以下證明：
，結(jié)合作差法得到。
解：（1）
．
（2）一方面，由（1），得
；①
另一方面，∵是△的重心，
∴． ②
而、不共線，∴由①、②，得
解之，得
，∴
（定值）．
（3）
．
由點、的定義知，，
且時，；時，．此時，均有．
時，．此時，均有．
以下證明：．（法一）由（2）知
，
∵
，∴
．
∵
，∴
．
∴的取值范圍
設(shè)橢圓
（常數(shù)
）的左右焦點分別為
，
是直線
上的兩個動點，
．
（1）若
，求
的值；
（2）求
的最小值．
【解析】第一問中解：設(shè)
，
則
由得
由，得
②
第二問易求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)
或
時，取最小值
．
解：設(shè)， ……………………1分
則，由得 ①……2分
（1）由，得 ② ……………1分
③ ………………………1分
由①、②、③三式，消去
，并求得
．
………………………3分
（2）解法一：易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．………………2分
， ……4分
所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時，取最小值．…2分
解法二：
，
………………4分
所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時，取最小值
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