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22．本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

滿分12分.

(Ⅰ)解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：

于是

當(dāng)在區(qū)間是減函數(shù)，

當(dāng)在區(qū)間是增函數(shù).

所以時(shí)取得最小值，，

(Ⅱ)證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(i)當(dāng)n=1時(shí)，由(Ⅰ)知命題成立.

(ii)假定當(dāng)時(shí)命題成立，即若正數(shù)，

則

當(dāng)時(shí)，若正數(shù)

令

則為正數(shù)，且

由歸納假定知

　　 　　①

同理，由可得

　　 ②

綜合①、②兩式

即當(dāng)時(shí)命題也成立.

根據(jù)(i)、(ii)可知對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.

證法二：

令函數(shù)

利用(Ⅰ)知，當(dāng)

對(duì)任意

　　　　　　　　　　 .　 ①

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.

(i)當(dāng)n=1時(shí)，由(I)知命題成立.

(ii)設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即若正數(shù)

由①得到

　　　 由歸納法假設(shè)

　　　 即當(dāng)時(shí)命題也成立.

　　　 所以對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.

21．本小題主要考查直線方程、平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)等基本知訓(xùn)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理的能力，滿分14分.

　 (I)解：設(shè)橢圓方程為

　　　 則直線AB的方程為

　　　 化簡(jiǎn)得.

　　　 令

　　　 則

　　　 共線，得

(II)證明：由(I)知，所以橢圓可化為.

　　　 在橢圓上，

　　　 即　 　①

　　　 由(I)知

又又，代入①得　

故為定值，定值為1.

20．本小題主要考查相互獨(dú)立事件和互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法，考查運(yùn)用概率

知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 滿分12分.

(Ⅰ)解：因?yàn)榧卓觾?nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為，所以甲坑不需要補(bǔ)

種的概率為　

3個(gè)坑都不需要補(bǔ)種的概率

恰有1個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為

恰有2個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為

3個(gè)坑都需要補(bǔ)種的概率為

補(bǔ)種費(fèi)用的分布為

	0	10	20	30
P	0.670	0.287	0.041	0.002

的數(shù)學(xué)期望為

19． 本小題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查分析問(wèn)題能力和推理能力，滿分12分.

解：(Ⅰ)因?yàn)?sub>是等比數(shù)列，

當(dāng)

上式等價(jià)于不等式組：　　　 ①

或　 ②

解①式得q>1；解②，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得－1<q<1.

綜上，q的取值范圍是

(Ⅱ)由

于是

18．本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)及思維能力和空間想象能力.考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.滿分12分.

　 方案一：

(Ⅰ)證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂線定理得：CD⊥PD.

因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

(Ⅱ)解：過(guò)點(diǎn)B作BE//CA，且BE=CA，

則∠PBE是AC與PB所成的角.

連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四邊形ACBE為正方形.　 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=，PB=，　 　　

(Ⅲ)解：作AN⊥CM，垂足為N，連結(jié)BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=，

.　　 ∴AB=2，

故所求的二面角的大小為

方法二：因?yàn)镻A⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為

A(0，0，0)B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，.

(Ⅰ)證明：因

由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

　 (Ⅱ)解：因

則，

.

故AC與PB所成的角的大小為

(Ⅲ)解：在MC上取一點(diǎn)N(x，y，z)，則存在使

要使

為所求二面角的平面角.

(本題也可通過(guò)求兩個(gè)平面的法向量所成角來(lái)確定二面角的平面角)

17．本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及圖像的基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力，滿分12分.

解：(Ⅰ)的圖像的對(duì)稱軸，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

由題意得

所以函數(shù)

(Ⅲ)證明：

所以曲線的切線斜率取值范圍為[－2，2]，而直線的斜率為，所以直線與函數(shù)的圖像不相切.

　(17)(本大題滿分12分)

設(shè)函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸是直線．

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

(Ⅲ)證明直線于函數(shù)的圖像不相切．

(18)(本大題滿分12分)

已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：面PAD⊥面PCD；

(Ⅱ)求AC與PB所成的角；

(Ⅲ)求面AMC與面BMC所成二面角的大小．

(19)(本大題滿分12分)

設(shè)等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和．

(Ⅰ)求的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)，記的前n項(xiàng)和為，試比較與的大小．

(20)(本大題滿分12分)

9粒種子分種在3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為，若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種，若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒(méi)發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種．假定每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次，每補(bǔ)種1個(gè)坑需10元，用ξ表示補(bǔ)種費(fèi)用，寫(xiě)出ξ的分布列并求ξ的數(shù)學(xué)期望．(精確到)

(21)(本大題滿分14分)

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值．

(22)(本大題滿分12分)

(Ⅰ)設(shè)函數(shù)，求的最小值；

(Ⅱ)設(shè)正數(shù)滿足，證明：

(13)若正整數(shù)m滿足，則m = 　　155　 ．

[解析]∵，∴，即，

　　　　　　　 ∴，即 ，∴．

[點(diǎn)撥]把指數(shù)形式化成對(duì)數(shù)形式．

(14)的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為　　 672　 ．(用數(shù)字作答)

[解析]的通項(xiàng)公式為，令得，，∴常數(shù)項(xiàng)為

[點(diǎn)撥]熟悉二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式．

(15)的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，，則實(shí)數(shù)　　　 　　 ．

[解析](特例法)設(shè)為一個(gè)直角三角形，則O點(diǎn)斜邊的中點(diǎn)，H點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，這時(shí)有，∴．(但當(dāng)為正三角形時(shí)，m∈R)

[點(diǎn)撥]由特殊情況去檢驗(yàn)一般情況．

(16)在正方體中，過(guò)對(duì)角線的一個(gè)平面交于E，交于F，則

①四邊形一定是平行四邊形

②四邊形有可能是正方形

③四邊形在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形

④四邊形有可能垂直于平面

以上結(jié)論正確的為　　　　　　 ．(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))

[解析]①平面與相對(duì)側(cè)面相交，交線互相平行，

∴四邊形一定是平行四邊形；

②四邊形若是正方形，則，又，

∴平面，產(chǎn)生矛盾；

　　　　　　　 ③四邊形在底面ABCD內(nèi)的投影是正方形；

　　　　　　　 ④當(dāng)E、F分別是、的中點(diǎn)時(shí)，，又平面，

　　　　　　　 ∴四邊形有可能垂直于平面；

[點(diǎn)撥]邊觀察、邊推導(dǎo)．

(1)復(fù)數(shù)(　)

(A)　　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

[解析]∵，故選A．

[點(diǎn)撥]對(duì)于復(fù)數(shù)運(yùn)算應(yīng)先觀察其特點(diǎn)再計(jì)算，會(huì)簡(jiǎn)化運(yùn)算．

(2)設(shè)為全集，是的三個(gè)非空子集，且，則下面論斷正確的是(　)

(A)　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　 (D)

[解析]∵所表示的部分是圖中藍(lán)色

的部分，所表示的部分是圖中除去的部分，

∴，故選C．

[點(diǎn)撥]利用韋恩圖求解．

(3)一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為　　(　　　 )

(A)　　　　 (B)　　　 (C)　　　　 (D)

[解析]∵截面圓面積為，∴截面圓半徑，

　　　　　　　 ∴球的半徑為，

　　　　　　　 ∴球的表面積為，故選B．

[點(diǎn)撥]找相關(guān)的直角三角形．

(4)已知直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是(　 )

(A)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　

(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)

將化為，

　　　　　　 ∴該圓的圓心為，半徑，

設(shè)直線的方程為，即，設(shè)直線到圓心的距離為，則

∵直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，

∴，∴．故選C．

[點(diǎn)撥]利用圓心到直線的距離解直線與圓的位置關(guān)系．

(5)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為(　 )

(A)　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　　　　　　 (D)

[解析]過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作AM、BN垂直于EF，垂足分別為M、N，連結(jié)DM、CN，可證得DM⊥EF、CN⊥EF，多面體ABCDEF分為三部分，多面體的體積V為

，∵，，∴，作NH垂直于點(diǎn)H，則H為BC的中點(diǎn)，則，∴，∴，

，，∴，故選A．

[點(diǎn)撥]將不規(guī)則的多面體分割或補(bǔ)全為規(guī)則的幾何體進(jìn)行計(jì)算．

(6)已知雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為(　 )

(A)　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　 (D)

[解析]由得，∴，拋物線的準(zhǔn)線為，因?yàn)殡p曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，所以，解得，所以，所以離心率為，故選D．

[點(diǎn)撥]熟悉圓錐曲線各準(zhǔn)線方程．

(7)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為(　　 )

(A)2　　　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　　　　 (C)4　　　　　　　　　　　　 (D)

[解析]

　 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”，∵，∴存在使，這時(shí)，故選．

[點(diǎn)撥]熟練運(yùn)用三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算．

(8)設(shè)，二次函數(shù)的圖像為下列之一

則的值為(　)

(A)　　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　 (D)

[解析]∵，∴圖像不能以軸為對(duì)稱軸，∴一、二兩個(gè)圖不符；第四個(gè)圖可知，，故其對(duì)稱軸為，所以也不符合；只有第三個(gè)圖可以，由圖象過(guò)原點(diǎn)，得，開(kāi)口向下，所以，故選B．

[點(diǎn)撥]熟悉二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)，分析對(duì)稱軸、與軸的交點(diǎn)等形與數(shù)的關(guān)系．

(9)設(shè)，函數(shù)，則使的的取值范圍是( 　)

(A)　　　 (B)　　 (C)　　　 (D)

[解析]∵，，∴，解得　 或(舍去)，

　　　　　　　 ∴，故選C．

[點(diǎn)撥]熟悉對(duì)數(shù)的性質(zhì)．

(10)在坐標(biāo)平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為(　)

(A)　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　　 (D)2

[解析]原不等式化為或，

所表示的平面區(qū)域如右圖所示，，， ∴，故選B．

[點(diǎn)撥]分類討論，通過(guò)畫(huà)出區(qū)域，計(jì)算面積．

(11)在中，已知，給出以下四個(gè)論斷：

①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

③　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

其中正確的是(　　 　)

(A)①③　　　　　　 (B)②④　　　　　　 (C)①④　　　　　　　　　 (D)②③

[解析]∵，，

∴，∴，

∵，∴①不一定成立，

∵，∴，∴②成立，

∵，∴③不一定成立，

∵，∴④成立，故選B．

[點(diǎn)撥]考查三角公式的靈活運(yùn)用．

(12)過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有(　　　 )

(A)18對(duì)　　　　　 (B)24對(duì)　　　　　 (C)30對(duì)　　　　　 (D)36對(duì)

[解析]解法一：(直接法)

①與上底面的、、成異面直線的有15對(duì)；

②與下底面的、、成異面直線的有9對(duì)(除去與上底面的)；

③與側(cè)棱、、成異面直線的有6對(duì)(除去與上下底面的)；

④側(cè)面對(duì)角線之間成異面直線的有6對(duì)；

所以異面直線總共有36對(duì)．

解法二：(間接法)

①共一頂點(diǎn)的共面直線有對(duì)；

②側(cè)面互相平行的直線有6對(duì)；

③側(cè)面的對(duì)角線有3對(duì)共面；

所以異面直線總共有對(duì)．

[點(diǎn)撥]解排列組合題的關(guān)鍵是分好類．

第Ⅱ卷