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32．(2004. 天津卷)(本小題滿分14分)

　　 橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點的準線與軸相交于點A，，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。

　 (I) 求橢圓的方程及離心率；

　 (II)若求直線PQ的方程；

　 (III)設，過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明

。

(22)本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。

(I)解：由題意，可設橢圓的方程為

　 由已知得

解得

所以橢圓的方程為，離心率　　　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

(II)解： 由(I)可得

設直線PQ的方程為由方程組

得　　　

依題意 得

設 則

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

由直線PQ的方程得　　 于是

　　　　 　　�、�

　　　 ④　　　　　　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分　　　　　　　　　　　　

由①②③④得從而

所以直線PQ的方程為

　　　　　 或　　 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

(III)證明：由已知得方程組

注意解得　 　　　　　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

因故　　　　　

而所以

　　　　　 　　　　　　　　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分

31．解：(Ⅰ)依題意，可設直線AB的方程為 代入拋物線方程得　　

　　 ①

設A、B兩點的坐標分別是 、、x₂是方程①的兩根.

所以　 　　

由點P(0，m)分有向線段所成的比為，

得

又點Q是點P關于原點的對稱點，

故點Q的坐標是(0，－m)，從而.

所以　

(Ⅱ)由 得點A、B的坐標分別是(6，9)、(－4，4).

由 　得

所以拋物線 在點A處切線的斜率為

設圓C的方程是

則

解之得

所以圓C的方程是　

即　

31．(2004.湖南理)(本小題滿分12分)

如圖，過拋物線x²=4y的對稱軸上任一點P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點.

(I)設點P分有向線段所成的比為，證明:；

(II)設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.

30．本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質等基礎知識，以及軌跡的求法與應用、曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力. 滿分12分.

(1)解法一：直線l過點M(0，1)設其斜率為k，則l的方程為

記、由題設可得點A、B的坐標、是方程組

將①代入②并化簡得，，所以

于是

…………6分

設點P的坐標為則

消去參數k得　　 ③

當k不存在時，A、B中點為坐標原點(0，0)，也滿足方程③，所以點P的軌跡方

程為………………8分

解法二：設點P的坐標為，因、在橢圓上，所以

　 ④　　　　　 　　⑤

④-⑤得，所以

當時，有　　　 ⑥

并且　　 ⑦　 將⑦代入⑥并整理得 　�、�

當時，點A、B的坐標為(0，2)、(0，－2)，這時點P的坐標為(0，0)

也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為

………………8分

(2)解：由點P的軌跡方程知所以

……10分

故當，取得最小值，最小值為時，取得最大值，

最大值為……………………12分

注：若將代入的表達式求解，可參照上述標準給分.

30．(2004. 遼寧卷)(本小題滿分12分)

設橢圓方程為，過點M(0，1)的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，

點P滿足，點N的坐標為，當l繞點M旋轉時，求：

　 (1)動點P的軌跡方程；

　 (2)的最小值與最大值.

29、(2004. 上海卷文科)圓心在直線x=2上的圓C與y軸交于兩點A(0, -4),B(0, -2),則圓C的方程為　 (x－2)²+(y+3)²=5　　　　 .

27、(2004.上海理)教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內容體現出解析幾何的本質是　　　　　　　　　　 用代數的方法研究圖形的幾何性質　 　　　　　　　　　　　　　　　　.

28、(2004. 上海卷文科)當x、y滿足不等式組	2≤x≤4	時,目標函數k=3x-2y的最大值為6 .
y≥3
x+y≤8

26、圓心在直線2x－y－7=0上的圓C與y軸交于兩點A(0, -4),B(0, -2),則圓C的方程為　　　　 　(x－2)²+(y+3)²=5 　　　　　　　.

25、(2004.上海理)設拋物線的頂點坐標為(2,0),準線方程為x=－1,則它的焦點坐標為　 (5,0)　　 .

24. (2004. 天津卷)如果過兩點和的直線與拋物線沒有交點，那么實數的取值范圍是__________________