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7．定義在R上的函數f(x)，如果存在函數g (x)=kx+b（k，b為常數），使得f(x)≥g(x)對一切

   實數x都成立，則稱g(x)為函數f(x)的一個承托函數。現有如下命題：

       ① 對給定的函數f(x)，其承托函數可能不存在，也可能有無數個；

       ② g(x)=2x為f(x)=2^x的一個承托函數；

       ③ 定義域和值域都是R的函數f(x)不存在承托函數。

       其中正確命題的序號是                                                                                    （    ）

       A．①                      B．②                       C．①③                  D．②③

8．如圖在棱長為a的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，

   P為A₁D₁的中點，Q為A₁B₁上任意一點，E、F

   為CD上任意兩點，且EF的長為定值b，則下列

   四個值中不為定值的是                              （    ）

       A．點到平面的距離

       B．二面角的大小

       C．直線與平面所成的角

       D．三棱錐的體積

9．設P為曲線C：y=x²+2x+3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為

   ，則點P橫坐標的取值范圍為                                                               （    ）

       A．                                            B．[-1，0]

       C．[0，1]                                               D．

10．平面、、兩兩互相垂直，點A∈，點A到、的距離都是3，P是上的

       動點，P到的距離是到點A距離的2倍，則點P的軌跡上的點到的距離的最小值

                                                                                                                              （    ）

       A．                                             B．

       C．                                             D．

11．已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²-9n，則其通項a_n=           。

12．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率是，則該雙曲線兩漸近線夾

       角是              。

13．設函數f(x)的圖象關于點（1，2）對稱，且存在反函數f^―1(x)，f(4)=0，則f^―1(4)=     。

14．若，則實數m滿足條件

                                          。

15．給出下列命題

       ① 非零向量、滿足||=||=|-|，則與+的夾角為30°；

       ② ?＞0是、的夾角為銳角的充要條件；

       ③ 將函數y=|x-1|的圖象按向量=（-1，0）平移，得到的圖像對應的函數為y=|x|；

       ④若（）?（）=0，則△ABC為等腰三角形

       以上命題正確的是                   。（注：把你認為正確的命題的序號都填上）

    寫在答題卡相應處）

16．（本小題滿分12分）

       已知向量

   （1）若，球向量的夾角；

   （2）當時，求函數的最大值。

17.（本題滿分12分）.設進入健身中心的每一位健身者選擇甲種健身項目的概率是，選擇乙種健身項目的概率是，且選擇甲種與選擇乙種健身項目相互獨立，各位健身者之間選擇健身項目是相互獨立的。

（Ⅰ）求進入該健身中心的1位健身者選擇甲、乙兩種項目中的一項的概率；

（Ⅱ）求進入該健身中心的4位健身者中，至少有2位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目的概率。

18．（本小題滿分12分）

       已知函數

   （1）若函數f(x)的圖像上點P（1，m）處的切線方程為3x-y+b=0，求m的值。

   （2）若函數f(x)在（1，2）內是增函數，求a的取值范圍。

19．（本小題滿分12分）

       已知直四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F為棱BB₁

              的中點，M為線段AC₁的中點。

   （1）求證：直線MF∥平面ABCD；

   （2）求證：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；

   （3）求平面AFC₁與與平面ABCD所成二面角的大小。

20．（本小題滿分13分）

       已知A（-2，0）、B（2，0），點C、點D滿足

   （1）求點D的軌跡方程；

   （2）過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓與M、N兩點，線段MN的中點到y軸的

        距離為，且直線l與點D的軌跡相切，求該橢圓的方程。

21．（本小題滿分14分）

       已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，數列{b_n}中，b₁=1，

       點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上。

   （1）求a₁和a₂的值；

   （2）求數列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；

   （3）設c_n=a_n?b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n。

參 考 答 案20090320

1．C   2．A   3．D   4．D   5．D   6．B   7．A   8．C   9．D   10．A

11．2n-10      12．     13．-2     14．     15．①③④

16．解：（1）當時，

       ∴                                                                      ??????????????6分

   （2）

       =

       ∵，     ∴

       故，

       ∴當                          ????????????????12分

17．.解：（Ⅰ）記A表示事件：進入該健身中心的1位健身者選擇的是甲種項目，B表示事件：進入該健身中心的1位健身者選擇的是乙種項目，則事件A與事件B相互獨立，P（A）＝，P（B）＝。???－1分

故進入該健身中心的1位健身者選擇甲、乙兩種項目中的一項的概率為：P＝＝P（A）＋＝。-??4分

（Ⅱ）記C表示事件：進入該健身中心的1位健身者既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，D表示事件：進入該健身中心的4位健身者中，至少有2位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，A₂表示事件：進入該健身中心的4位健身者中恰有2位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，A₃表示事件：進入該健身中心的4位健身者中恰有3位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，A₄表示事件：進入該健身中心的4位健身者中恰有4位既未選擇甲種又未選擇乙種健身項目，???5分

則P（C）＝，???7分

，???8分

，???9分

???10分

。???12分

18．解：（1）∵

       ∴                                                       ?????????????????2分

       則過點P（1，m）的切線斜率為             ?????????????????3分

       又∵切線方程為3x-y+b=0

       ∴-1-4a=3，即a=-1                                                                                       ??????????????????4分

       ∴                                                     ??????????????????5分

       又∵P（1，m）在f(x)的圖像上，∴                         ??????????????????6分

   （2）∵函數f(x)在（1，2）內是增函數                                   ??????????????????7分

       ∴0對一切x∈（1，2）恒成立

       即                             ?????????????????9分

                  ?????????????????11分

       ∴

19．解法一：

   （1）延長C₁F交CB的延長線于點N，連接AN。因為F是BB₁的中點，

       所以F為C₁N的中點，B為CN的中點。????2分

       又M是線段AC₁的中點，故MF∥AN。?????3分

       又MF平面ABCD，AN平面ABCD。

       ∴MF∥平面ABCD。                              ???5分

   （2）證明：連BD，由直四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁

       可知A₁A⊥平面ABCD，

       又∵BD平面ABCD， ∴A₁A⊥BD。

       ∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD。

       又∵AC∩A₁A=A，AC，AA平面ACC₁A₁。

       ∴BD⊥平面ACC₁A₁。                                                           ?????????????????7分

       在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四邊形DANB為平行四邊形

       故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，又因為NA平面AFC₁

       ∴平面AFC₁⊥ACC₁A₁

   （3）由（2）知BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，

       ∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA。

       又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

       ∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角或補角。           ???10分

       在Rt△C₁AC中，tan，                                                     ???12分

       故∠C₁AC=30°

       ∴平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°。                    ???12分

       解法二：

       設AC∩BD=0，因為M、O分別為C₁A、CA的中點，所以，MO∥C₁C，

       又由直四棱柱知C₁C⊥平面ABCD，所以MO⊥平面ABCD。

       在棱形ABCD中，BD⊥AC，所以，OB、OC、OM兩兩垂直。

       故可以O為原點，OB、OC、OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸如圖建立空間直角坐

       標系

       若設|OB|=1，則B（1，0，0），B₁（1，0，2），

       A（0，，0），C（0，，0），C₁（0，，2）。                             ???3分

   （1）由F、M分別為B₁B、C₁A的中點可知：F（1，0，1），

       M（0，0，1），所以（1，0，0）=

       又不共線，所以，MF∥OB。

       ∵MF平面ABCD，OB平面ABCD，

       ∴MF∥平面ABCD。                              ???6分

   （2）（1，0，0）為平面的法ACC₁A₁的法向量。

    設為平面AFC₁的一個法向量

       則

       由得

       令y=1，得z=，此時                                                           ???9分

       由于，所以，平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁。     ???10分

   （3）為平面ABCD的法向量，設平面AFC₁與平面ABCD所成的二面角

       的大小為，

       則

       所以=30°或150°。

       即平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°。                    ???11分

20．解：

   （1）設C、D點的坐標分別為C(x₀，y₀)，D(x，y)，則=(x₀+2，y₀)，=(4，0)

       則(x₀+6，y₀)，故                  ???2分

       又                              ???4分

       代入得x²+y²=1，即為所求點D的軌跡方程        ???6分

   （2）易知直線l與x軸不垂直，設直線l的方程為y=k(x+2)     ①

       又設橢圓方程為                               ②

       因為直線l與圓x+y=1相切，故，解得k=

       將①代入②整理得，

       而k=即

       設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則x₁+x₂=

       由題意有求的a=8，經檢驗，此時△＞0.

       故所求的橢圓方程為                                                                  ???13分

21．解：

   （1）∵a_n是S_n與2的等差中項

       ∴S_n=2a_n-2             ∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2

       a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4                                                                          ???3分

   （2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，

       又S_n―S_n-1=a_n，

       ∴a_n=2a_n-2a_n-1，

       ∵a_n≠0，

       ∴，即數列{a_n}是等比樹立∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ

       ∵點P(b_n，b_n+1)在直線x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，

       ∴b_n+1-b_n=2，即數列{b_n}是等差數列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，                            ???8分

   （3）∵c_n=(2n-1)2ⁿ

       ∴T_n=a₁b₁+ a₂b₂+????a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+????+(2n-1)2ⁿ，

       ∴2T_n=1×2²+3×2³+????+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹

       因此：-T_n=1×2+(2×2²+2×2³+???+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

       即：-T_n=1×2+(2³+2⁴+????+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

       ∴T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6                                                                                          ??14分