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1．求證： =32cos20°　

分析：本題證明方向顯然是從左邊證到右邊同時，注意到角與函數次數的變化，運用降冪公式sin²α=可使等式中的角與函數的次數得到統一　

證法一：左邊=

∴原式成立　

證法二：左邊=

∴原式成立　

評注：關于三角函數的化簡、求值、證明問題要善于觀察、聯想公式之間的內在聯系，通過拆、配等方法去分析問題和解決問題證法一中的常值代換(用cos60°代)，角的分拆(20°分成40°-20°,60°分成40°+20°)及公式的逆用，是實施三角變形的重要方法

例1在△ABC中，已知cosA =，sinB =，則cosC的值為…………(A)

A 　　　　B　　　 C 　　　　D

解：∵C = p - (A + B)　　 ∴cosC = - cos(A + B)

又∵AÎ(0, p)　　 ∴sinA = 　而sinB =　 顯然sinA > sinB

∴A > B　 即B必為銳角　　 ∴ cosB = 　　

∴cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =

例2在△ABC中，ÐC>90°，則tanAtanB與1的關系適合………………(B)

A tanAtanB>1　　 B tanAtanB>1　　 C tanAtanB =1　 D不確定

解：在△ABC中　 ∵ÐC>90°　 ∴A, B為銳角　 即tanA>0, tanB>0

又：tanC<0　 于是：tanC = -tan(A+B) = <0

∴1 - tanAtanB>0　 即：tanAtanB<1

又解：在△ABC中　 ∵ÐC>90°　 ∴C必在以AB為直徑的⊙O內(如圖)

　　 　設CD = h，C’D = h’，AD = p，BD = q，

例3已知，，，，

　求sin(a + b)的值

解：∵　　 ∴

又　　 ∴

∵　　 ∴

又　　 ∴

　∴sin(a + b) = -sin[p + (a + b)] =

例4已知sina + sinb = ，求cosa + cosb的范圍

解：設cosa + cosb = t，

則(sina + sinb)² + (cosa + cosb)² = + t²

∴2 + 2cos(a - b) = + t²　　

即 cos(a - b) = t² -

又∵-1≤cos(a - b)≤1　　　 ∴-1≤t² -≤1　

∴≤t≤

例5設a，bÎ(,)，tana、tanb是一元二次方程的兩個根，求 a + b

解：由韋達定理：

∴

又由a，bÎ(,)且tana，tanb < 0　 (∵tana+tanb<0, tanatanb >0)

得a + bÎ (-p, 0)　　 ∴a + b =

例6 已知sin(p - a) - cos(p + a) =(0<a<p)，求sin(p + a) + cos(2p - a)的值

解：∵sin(p - a) - cos(p + a) = 即：sin a + cos a =　　 ①

又∵0<<1，0<a<p　　 　　∴sina>0,　 cosa<0

令a = sin(p + a) + cos(2p - a) = - sina + cosa　 則 a<0

由①得：2sinacosa = 　　

例7　 已知2sin(p - a) - cos(p + a) = 1 (0<a<p)，求cos(2p - a) + sin(p + a)的值

解：將已知條件化簡得：2sin a + cos a = 1　 ①

設cos(2p - a) + sin(p + a) = a ,　 則 a = cos a - sin a　　 ②

①②聯立得：

∵sin²a + cos²a = 1　　 ∴

∴5a² + 2a - 7 = 0,

解之得：a₁ = ,　 a₂ = 1(舍去)(否則sina = 0, 與0<a<p不符)

∴cos(2p - a) + sin(p + a) =

20．已知函數．

(1)試判斷在上的單調性；

(2)當時，求證函數的值域的長度大于(閉區間[m，n]的長度定義為n－m)．

19．(1) 設函數，且數列滿足= 1，(n∈N，)；求數列的通項公式．

(2)設等差數列、的前n項和分別為和，且 ，， ；求常數A的值及的通項公式．

　(3)若，其中、即為(1)、(2)中的數列、的第項，試求．

18．如圖，點A、B、C都在冪函數的圖像上，它們的橫坐標分別是a、a+1、a+2 　又A、B、C在x軸上的射影分別是A′、B′、C′,記△AB′C的面積為f(a)，△A′BC′的面積為g(a) 　　

(1)求函數f(a)和g(a)的表達式；

(2)比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結論 　

17．某商店經銷一種奧運紀念品，每件產品的成本為30元，并且每賣出一件產品需向稅務部門上交元(為常數，4＜a≤5)的稅收．設每件產品的日售價為x元(35≤x≤41)，根據市場調查，日銷售量與(e為自然對數的底數)成反比例．已知每件產品的日售價為40元時，日銷售量為10件．

(1)求該商店的日利潤L(x)元與每件產品的日售價x元的函數關系式；

(2)當每件產品的日售價為多少元時，該商品的日利潤L(x)最大，并求出L(x)的最大值．

16．已知冪函數的圖象關于y軸對稱，且在上是減函數，求滿足的a的取值范圍．

15.如圖、是單位圓上的點，是圓與軸正半軸的交點，點的坐標為，三角形為直角三角形．

(1)求，；

(2)求線段的長．

14．函數，圖象上的最高點為A，最低點為B，A、B兩點之間的距離是，則實數的取值范圍是________________.

13．已知定義在上的奇函數的圖象關于直線對稱，，則的值為________________.