3．(2009年山東卷)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，+＝2，則
( )
A.+＝0 B.+＝0
C.+＝0 D.++＝0
[解析] 因?yàn)?＝2，
所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，故選B.
[答案] B
2．在四邊形ABCD中，＝a+2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是
( )
A．矩形 B．平行四邊形
C．梯形 D．以上都不對
[解析] 由已知＝++＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
∴∥，又與不平行，
∴四邊形ABCD是梯形．
[答案] C
1．下列等式不正確的是
( )
A．a+0＝a B．a+b＝b+a
C.+≠0 D.＝++
[解析] 解法1：∵與為相反向量，
∴+＝0，∴C不正確．
解法2：+＝(－)+(－)
＝－－+＝0.∴C不正確．
[答案] C
23．(本小題滿分10分)
一個袋中裝有黑球，白球和紅球共n(
)個，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是
．現(xiàn)從袋中任意摸出2個球．
(1)若n=15，且摸出的2個球中至少有1個白球的概率是
，設(shè)
表示摸出的2個球中紅球的個數(shù),求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望
；
(2)當(dāng)n取何值時，摸出的2個球中至少有1個黑球的概率最大，最大概率為多少?
22．
(本小題滿分10分)
如圖，在直三棱柱
中，
，AB=AC=a，
，點(diǎn)E，F分別在棱
，
上，且
，
．設(shè)
．
(1)當(dāng)
=3時，求異面直線
與
所成角的大小；
(2)當(dāng)平面
⊥平面
時，求的值．
21．[選做題]在A、B、C、D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分．請?jiān)?u>答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，在梯形
中，
∥BC，點(diǎn)
，
分別在邊
，
上，設(shè)
與
相交于點(diǎn)
，若
，
，，四點(diǎn)共圓，求證：
．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣
=
，求的特征值
，
及對應(yīng)的特征向量
．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的方程
，設(shè)
，
為參數(shù)，求曲線的參數(shù)方程．
D．選修4-5：不等式選講
設(shè)實(shí)數(shù)
滿足
，求
的最小值，并求此時的值．
[必做題]第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請?jiān)?u>答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
20． [解]：(1)當(dāng)
時，
…………(2分)
當(dāng)
時，
，
在
內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)
時，
恒成立，故在
內(nèi)單調(diào)遞增；
的單調(diào)增區(qū)間為
。
…………(6分)
(2)①當(dāng)時，
，
，
恒成立，在
上增函數(shù)。
故當(dāng)
時，
。
…………8分)
②當(dāng)
時，
，
(Ⅰ)當(dāng)
，即
時，
在
時為正數(shù)，所以在區(qū)間
上為增函數(shù)。故當(dāng)
時，
，且此時
…………(10分)
(Ⅱ)當(dāng)
，即
時，在
時為負(fù)數(shù)，在
時為正數(shù)，所以在區(qū)間
上為減函數(shù)，在
上為增函數(shù)。故當(dāng)
時，
，且此時
。
…………(12分)
(Ⅲ)當(dāng)
，即
時，在進(jìn)為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間
上為減函數(shù)，故當(dāng)時，。
…………(14分)
所以函數(shù)
的最小值為
。
由條件得
此時；或
，此時
；或
，此時無解。
綜上，
。
…………(16分)
數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)
20．(本小題滿分16分)設(shè)
，函數(shù)
.
(Ⅰ)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(Ⅱ)若
時，不等式
恒成立，實(shí)數(shù)
的取值范圍.．
19．(本小題滿分16分)
在一個特定時段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個雷達(dá)觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東
且與點(diǎn)A相距40
海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+
(其中sin=
，
)且與點(diǎn)A相距10
海里的位置C.
(1)求該船的行駛速度(單位：海里/時);
(I2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由.
19解 (1)如圖，AB=40，AC=10，
由于0<<
,所以cos=
……………………………2分
由余弦定理得BC=
……………………6分
所以船的行駛速度為
(海里/小時). ……………………………8分
(2)解法一 如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是
B(x1，y2),
C(x1，y2),BC與x軸的交點(diǎn)為D.
由題設(shè)有，x1=y1=
AB=40, ……10分
x2=ACcos
.
……12分
所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=
,直線l的方程為y=2x-40.
又點(diǎn)E(0，-55)到直線l的距離d=
…………15分
所以船會進(jìn)入警戒水域. ……………………………16 分
解法二 如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，
由余弦定理得，
==
=
.…………10 分
從而
在
中，由正弦定理得，
AQ=
…………12分
由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.過點(diǎn)E作EP
BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.在Rt
中，
PE=QE·sin
=
………………………15 分
所以船會進(jìn)入警戒水域. ………………………16 分
18． 解：(1)設(shè)點(diǎn)
，依題意，有
． ----------2分
整理，得
．
所以動點(diǎn)
的軌跡
的方程為． -------------5分
(3)由題意：設(shè)N
,A 
，則B
,
---------------7分
=
＝
＝
為定值。-----------------------------10分設(shè)
(2)M
，則切線MQ的方程為：
由
得Q
------------12分
， 
=
----------15分
所以：
即MF與OQ始終保持垂直關(guān)系 -------------16分
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