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4. “”是“函數在區間上為增函數”的

A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件　 C．充要條件　 D．既不充分也不必要條件

3. 過平行六面體任意兩條棱的中點作直線, 其中與平面平行的直線共有

　 A．4條　　　　　　　 B．6條　　　　　 C．8條　　　　　　　 D．12條

2. 若數列滿足: , 且對任意正整數都有, 則

　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

1. 函數的定義域是

　　 A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．

21．(本小題滿分14分)

設是函數的一個極值點。

(Ⅰ)、求與的關系式(用表示)，并求的單調區間；

(Ⅱ)、設，。若存在使得成立，求的取值范圍。

　點評：本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力。

解：(Ⅰ)f `(x)＝－[x²+(a－2)x+b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²+(a－2)3+b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

則 f `(x)＝[x²+(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²+(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x+a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是極值點，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

當a<－4時，x₂>3＝x₁，則

在區間(－∞，3)上，f `(x)<0， f (x)為減函數；

在區間(3，―a―1)上，f `(x)>0，f (x)為增函數；

在區間(―a―1，+∞)上，f `(x)<0，f (x)為減函數。

當a>－4時，x₂<3＝x₁，則

在區間(－∞，―a―1)上，f `(x)<0， f (x)為減函數；

在區間(―a―1，3)上，f `(x)>0，f (x)為增函數；

在區間(3，+∞)上，f `(x)<0，f (x)為減函數。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當a>0時，f (x)在區間(0，3)上的單調遞增，在區間(3，4)上單調遞減，那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－(2a+3)e³<0，f (4)＝(2a+13)e^－1>0，f (3)＝a+6，

那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[－(2a+3)e³，a+6].

又在區間[0，4]上是增函數，

且它在區間[0，4]上的值域是[a²+，(a²+)e⁴]，

由于(a²+)－(a+6)＝a²－a+＝()²≥0，所以只須僅須

(a²+)－(a+6)<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范圍是(0，)。

20．(本小題滿分14分)

設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。

(Ⅰ)、求橢圓的方程；

(Ⅱ)、設為右準線上不同于點(4，0)的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內。

(此題不要求在答題卡上畫圖)

點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。

解：(Ⅰ)依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.

故橢圓的方程為 .

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).設M(x₀，y₀).

∵M點在橢圓上，∴y₀＝(4－x₀²).　　　　　　　　　　　 1

又點M異于頂點A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三點共線可以得

P(4，).

從而＝(x₀－2，y₀)，

＝(2，).

∴·＝2x₀－4+＝(x₀²－4+3y₀²).　　　 2

將1代入2，化簡得·＝(2－x₀).

∵2－x₀>0，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點B在以MN為直徑的圓內。

解法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

則－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中點Q的坐標為(，)，

依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差

－＝(－2)²+()²－[(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²]

　　　　　　　　 ＝(x₁－2) (x₂－2)+y₁y₁　　　　　　　　 　　3

又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，

而點兩直線AP與BP的交點P在準線x＝4上，

∴，即y₂＝　　　　　　　　　　　 4

又點M在橢圓上，則，即　　　　 5

于是將4、5代入3，化簡后可得－＝.

從而，點B在以MN為直徑的圓內。

19．(本小題滿分10分)

在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布。已知成績在90分以上(含90分)的學生有12名。

(Ⅰ)、試問此次參賽學生總數約為多少人？

(Ⅱ)、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？

可共查閱的(部分)標準正態分布表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1	0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821	0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826	0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830	0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834	0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838	0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842	0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846	0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850	0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854	0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

點評：本小題主要考查正態分布，對獨立事件的概念和標準正態分布的查閱，考查運用概率統計知識解決實際問題的能力。

解：(Ⅰ)設參賽學生的分數為，因為-N(70，100)，由條件知，

P(≥90)＝1－P(<90)＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

這說明成績在90分以上(含90分)的學生人數約占全體參賽人數的2.28%，因此，

參賽總人數約為≈526(人)。

(Ⅱ)假定設獎的分數線為x分，則

P(≥x)＝1－P(<x)＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故設獎得分數線約為83.1分。

18．(本小題滿分12分)

如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，。

(Ⅰ)、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；

(Ⅱ)、在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的，D₁Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結論。

點評：本小題主要考查線面關系、直線于平面所成的角的有關知識及空間想象能力和推理運算能力，考查運用向量知識解決數學問題的能力。

解法1：(Ⅰ)連AC，設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，,連結OG，因為

PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP與平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，當m＝時，直線AP與平面所成的角的正切值為.

(Ⅱ)可以推測，點Q應當是A_IC_I的中點O₁，因為

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根據三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直。

17．(本小題滿分13分)

已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上。

(Ⅰ)、求數列的通項公式；

(Ⅱ)、設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；

點評：本小題考查二次函數、等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力。

解：(Ⅰ)設這二次函數f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,　 b=－2, 所以　 f(x)＝3x²－2x.

又因為點均在函數的圖像上，所以＝3n²－2n.

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－＝6n－5.

當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 ()

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知＝＝，

故T_n＝＝＝(1－).

因此，要使(1－)<()成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.

16．(本小題滿分12分)

設函數，其中向量，，，。

(Ⅰ)、求函數的最大值和最小正周期；

(Ⅱ)、將函數的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的。

　 點評：本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的性質及圖像的基本知識，考查推理和運算能力。

　 解：(Ⅰ)由題意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)

　　　　　　　 ＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝.

(Ⅱ)由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是d＝(，－2)，k∈Z.

因為k為整數，要使最小，則只有k＝1，此時d＝(―，―2)即為所求.