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19．(本小題14分)

如圖， 和兩點分別在射線OS、OT上移動，且，O為坐標原點，動點P滿足.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求P點的軌跡C的方程，并說明它表示怎樣

的曲線？

(Ⅲ)若直線l過點E(2，0)交(Ⅱ)中曲線C于M、N兩

點，且，求l的方程.

解：(Ⅰ)由已知得

　　　　　　　 …………4分

　 (Ⅱ)設P點坐標為(x，y)(x＞0)，由得

　　　　　　 　　　　　…………5分　　

　　　　 ∴ 　消去m，n可得

　　　　　　 ，又因　　 8分　

　　　　 ∴ P點的軌跡方程為　

　　　　 它表示以坐標原點為中心，焦點在軸上，且實軸長為2，焦距為4的雙曲線

的右支　　　 　　　…………9分

(Ⅲ)設直線l的方程為，將其代入C的方程得

　　　　 即　 　　　　　　　　　　　　

　易知(否則，直線l的斜率為，它與漸近線平行，不符合題意)

　　　　 又　　　

　　　 設，則

　　　 ∵　 l與C的兩個交點在軸的右側

　　　 ∴ ，即　　　

又由　 同理可得　 　　　…………11分

　　　　 由得

　　　 ∴

　　　 由得

　　 由得

消去得

解之得： ，滿足　　　　　　　　 …………13分

故所求直線l存在，其方程為：或　 …………14分

18．(本小題13分)

已知： 　，.

(I)求、、；

(II)求數列的通項公式；

(II)求證：

解：(I)由已知，所以　　　 1分

，所以

，所以　　　　 3分

(II)

即

所以對于任意的， 　　　　　7分

(III)

∴　　 ①

　②

①─②，得

　 　　　　　9分

∴，　　　　　　 12分

又=1，2，3…，故< 1　　　　 13分

17．(本小題13分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD, ，，E是BD的中點.

(Ⅰ)求證：EC//平面APD；

(Ⅱ)求BP與平面ABCD所成角的正切值；

(Ⅲ) 　求二面角P-AB-D的大小.

解法一：(Ⅰ)如圖，取PA中點F，連結EF、FD，

∵E是BP的中點，

∵EF//AB且，

又∵

∴EFDC∴四邊形EFDC是平行四邊形，故得EC//FD　　 …………2分

又∵EC平面PAD，FD平面PAD

　　 ∴EC//平面ADE　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

(Ⅱ)取AD中點H，連結PH，因為PA=PD，所以PH⊥AD

∵平面PAD⊥平面ABCD于AD

　　　 ∴PH⊥面ABCD

　　　 ∴HB是PB在平面ABCD內的射影

　　　 ∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角　　　　　　 …………6分

　　　 ∵四邊形ABCD中， 　

　　　 ∴四邊形ABCD是直角梯形　

設AB=2a，則，

在中,易得,

，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴

　　　 ∴在中，　　　 …………10分

(Ⅲ)在平面ABCD內過點H作AB的垂線交AB于G點，連結PG，則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a　　　　 …………11分

，又∴

在中，　 13分　　　　

　　 ∴二面角P-AB-D的大小為　 …………14分　

解法二：(Ⅰ)同解法一　　　　　　　　　　　　　　 4分

(Ⅱ)設AB=2a，同解法一中的(Ⅱ)可得

　　　 如圖，以D點為原點，DA所在直線為x軸，DB所在直線為y軸，過D點且垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標系.　　　　　　　 …………5分

則，，則，平面ABCD的一個法向量為m=(0，0，1)，　 …………7分

所以，

可得PB與平面ABCD所成角的正弦值為

所以 PB與平面ABCD所成角的正切值為　　　　　　　　　　　　　 …………10分

(Ⅲ)易知，則，設平面PAB的一個法向量為，則

　　　 ，令，可得……12分

　　　 得，

所以二面角P-AB-D的大小為…………14分

16．(本小題13分)

某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項目，根據市場分析知道：一年后可能獲利10﹪，可能損失10﹪，可能不賠不賺，這三種情況發生的概率分別為，，；如果投資乙項目，一年后可能獲利20﹪，也可能損失20﹪，這兩種情況發生的概率分別為.

(Ⅰ)如果把10萬元投資甲項目，用表示投資收益(收益=回收資金-投資資金)，

求的概率分布及；

(Ⅱ)若把10萬元投資投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益，求的取值范圍.

解：(Ⅰ)依題意，的可能取值為1，0，-1　　　　 …………1分

的分布列為

	1	0
p

…………4分

==…………6分

(Ⅱ)設表示10萬元投資乙項目的收益，則的分布列為

	2
p

　　　 …………8分

…………10分

依題意要求

…………13分

注：只寫出扣1分

15．(本小題12分)

已知為鈍角，且

求： (Ⅰ)；

(Ⅱ).

解： (Ⅰ)由已知： 　　　　　　　　…………………2分

得　　 　　　　　　　　　　　　　　　　…………………5分

(Ⅱ)

　　　　　　　　　 …………………8分

∵且

∴　　　　　　　　　　　　　 …………………10分

∴ 　　　　　　　　　　　　 　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………12分

14．數列{ a­}，{ b}()由下列條件所確定：

(ⅰ)a­₁<0, b₁>0 ;

(ⅱ)≥2時，a_k­與b_k滿足如下條件：

當時，a_k=­ a_k-1, b_k=；

當時，a_k=­ , b_k=b _k-1.

那么，當a­₁＝－5，b₁＝5時， { a­}的通項公式為

當b₁> b­₂>…>b­_n(n≥2)時，用a­₁，b₁表示{ b_k }的通項公式為b_k=　　　　(k=2，3…，n)．

(1)；(2)

13．有這樣一種數學游戲：在的表格中，要求每個格子中都填上1、2、3三個數字中的某一個數字，且每一行和每一列都不能出現重復的數字，則此游戲共有　　 12 　　　種不同的填法

12．已知函數，若≥2，則的取值范圍是　　　　

11．已知向量=(4, 0)，=(2, 2)，則=　 (-2，2)　 ；與的夾角的大小為　　 90° 　　

10．一個與球心距離為2的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為　　　 20