2009年福建省普通高中畢業班質量檢查
理科數學
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），第Ⅱ卷第21題為選考題，其他題為必考題，本試卷共5頁，滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．考生作答時，將答案答在答題卡上，請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效。
3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆記清楚。
4．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。
5．保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
參考公式：
樣本數據
，…，
的標準差
錐體體積公式
其中
為樣本平均數
其中
為底面面積，
為高
柱體體積公式 球的表面積、體積公式
其中為底面面積，為高
其中
為球的半徑
第I卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知
，
為虛數單位，若
，則
的值等于
A．-6 B．
2．設向量
且
，則銳角
為
A．
B．
C．
D．
3．
是
相交”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．函數
的圖象大致為
5．設
為不重合的平面
為不重合的直線，則下列命題正確的是
A．若
B．若
C．若
D．若
6．關于函數
圖象的對稱性，下列說法正確的是
A．關于直線
對稱
B．關于直線
對稱
C．關于點
對稱
D．關于點
對稱
7．右圖是計算函數
的值的程度框圖，
在①、②、③處應分別填入的是
A．
B．
C．
D．
8．已知直線
與直線
互相垂直，則
的最小值為
A．5
B．
9．已知函數
滿足
，且當
時，
則
的大小關系是
A．
B．
C．
D．
10．
的展開式中，
的系數可以表示從個不同物體中選出
個方法總數，下列各式的展開式中
的系數恰能表示從重量分別為1，2，3，…，
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡相應位置。
11．為了測算如圖陰影部分的面積，作一個邊為6的正方形將
其包含在內，并向正方形內隨即投擲800個點，已知恰有
200個點落在陰影部分內，據此，可估計陰影部分的面積
是____________。
12．已知
滿足約束條件
則
的最大值是__________。
13．如圖，直線
與曲線
所圍圖形的面積是____________。
14．在銳角
中，角
的對邊分別為
，
且
則
____________。
15．已知橢圓
的中心在原點、焦點在軸上，拋物線
的頂點在原點、焦點在軸上。小明從曲線
上各取若干個點（每條曲線上至少取兩個點），并記錄其坐標（
由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓上，也不在拋物線上，小明的記錄如下：
-2
0
2
3
2
0
據此，可推斷橢圓的方程為_________。
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分13分）
在等比數列
中，
（1）求數列的通項公式；
（2）令
，求數列
的前項和
。
17．（本小題滿分13分）
甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨即抽取8次，記錄如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
（I）用莖葉圖表示這兩組數據；
（Ⅱ）現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由；
（Ⅲ）若將頻率視為概率，對甲同學在今后的3次數學競賽成績進行預測，記這3次成績中高于80分的次數為
，求的分布列及數學期望
。
18．（本小題滿分13分）
四棱錐
的底面與四個側面的形狀和大小如圖所示。
（I）寫出四棱錐中四對線面垂直關系（不要求證明）；
（Ⅱ）在四棱錐中，若E為
的中點，求證：
平面
；
（Ⅲ）在四棱錐中，設面
與面所成的角為
，求
的值
19．（本小題滿分13分）
已知橢圓
的離心率
，長軸的左右端點分別為
。
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線
與橢圓交于
，
兩
點，直線
與
交于點
，試問：當
變化時，點是否恒在一條定直線上？
若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結
論；若不是，請說明理由。
20．（本小題滿分14分）
已知函數
（I）求函數的極值；
（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點
，如果存在曲線上的點
，且
，使得曲線在點處的切線
，則稱
為弦
的伴隨切線，特別地，當
時，又稱為的
伴隨切線。
（i）求證：曲線
的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；
（ii）是否存在曲線，使得曲線的任意一條弦均有
伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結論；若不存在，說明理由。
21．本題（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分如果多
做，則按所做的前兩題計分，作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號
涂黑。并將所選題號填入括號中。
（1）（本小題滿分7分）選修4-2；矩陣與變換
已知
矩陣
對應的線性變換把點
變成點
，求矩陣
的特征值以及屬于沒個特征值的一個特征向量。
（2）（本小題滿分7分）選修4-4，坐標系與參數方程
已知直線經過點
，且傾斜角為，圓的參數方程為
（
是參數），直線與圓交于
兩點，求兩點間的距離。
（3）（本小題滿分7分）選修4-5；不等式選將
解不等式
2009年福建省普通高中畢業班質量檢查
理科數學試題參考解答及評分標準
說明：
一、選擇題：本大題考查基礎知識和基本運算．每小題5分，共50分
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．B 8．C 9．B 10．A
二、填空題：本大題考查基礎知識和基本運算，每小題4分，共20分。
11．9 12．5 13．
14．
15．
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．本小題主要考查等比數列、數列求和等基礎知識，考查運算求解能力，滿分13分。
解：（I）設等比數列的公比為
依題意，得
解得
數列的通項公式 
（Ⅱ）由（I）得
17．本小題主要考查概率、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力以及應用數學知識分析解決實際問題的能力，滿分13分
解：（I）作出莖葉圖如下：
（Ⅱ）派甲參賽比較合適，理由如下：
，
，
，
甲的成績較穩定，派甲參賽比較合適。
注：本小題的結論及理由均不唯一，如果考生能從統計學的角度分析，給出其他合理回答，同樣給分，如
派乙參賽比較合適，理由如下：
從統計的角度看，甲獲得85以上（含85分）的概率
，
乙獲得85分以上（含85分）的概率
，派乙參賽比較合適。
（Ⅲ）記“甲同學在一次數學競賽中成績高于80分”為事件A，
則
隨機變量的可能取值為0，1，2，3，且服從
，
所以變量的分布列為
0
1
2
3
（或
）
18．本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面位置關系等基礎知識；考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力，滿分13分。
解法一：
（I）如圖，在四棱錐中，
平面
，
平面，
平面，
平面
注：多寫的按前四對給分，每正確一對，給一分
平面
也符合要求
（Ⅱ）依題意
兩兩垂直，分別以直線
，
，
為
軸，建立空間直角坐標系，如圖
則
，
的中點，點
的坐標為（0，0，1），
。
設
是平面的法向量
由
，即
取，得
為平面的一個法向量
，
，
平面，又
平面，
平面
（Ⅲ）由（Ⅱ），平面的一個法向量為
=（1，1，2）
又
平面，平面的一個法向量為
解法二：
（I）同解法一。
（Ⅱ）取
的中點
，連接
，
分別是
的中點，
，
在直角梯形中，
且
且
四邊形
是平行四邊形，
又
平面，平面，
平面
（Ⅲ）依題意
兩兩垂直，分別以直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖
則
設是平面的法向量。
由 即
取，得=（1，1，2）為平面的一個法向量
又平面，平面的一個法向量為
解法三：
（I）同解法一
（Ⅱ）取的中點
，連接
，
分別是
的中點，
又
平面，
平面
在直角梯形中，且
，
四邊形
是平行四邊形，
又
平面，
平面
平面
平面
又
平面
平面
（Ⅲ）同解法二
19．本小題主要考查直線、橢圓等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形
結合思想和化歸思想等，滿分13分。
解法一：
（I）設橢圓的方程為
橢圓的方程是
（Ⅱ）取
，得
直線的方程是
，直線的方程是
交點為
若
，由對稱性可知交點為
若點在同一條直線上，則直線只能為
以下證明對于任意的，直線與的交點均在直線上
事實上，由
得
即
記
則
設與交于點
由
，得
設與交于點
由
，得
即
與
重合
這說明，當變化時，點恒在定直線上
解法二：
（I）同解法一
（Ⅱ）取，得
直線的方程是，直線的方程是，
交點為
取
，得
直線的方程是
，直線的方程是
，交點為
若交點在同一條直線上，則直線只能為
以下證明對于任意的，直線與的交點均在直線上，
事實上，有
得
，即
記
則
的方程是
，的方程是
消去，得
以下用分析法證明
時，①式恒成立。
要證明①式恒成立，只需證明
，
即證
，即證
，②式成立。
這說明，當變化時，點恒在定直線上。
解法三：
（I）同解法一。
（Ⅱ）由
得，即
記則
的方程是
的方程是
由
得
即
這說明，當變化時，點恒在定直線上
20．本小題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形
結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想。滿分14分
解法一：
（I）
當
時，
，函數在
內是增函數，
函數沒有極值
當
時，令
得
當變化時，
與變化情況如下表：
+
0
-
單調遞增
極大值
單調遞減
當時，取得極大值
綜上，當時，沒有極值；
當時，的極大值為
，沒有極小值
（Ⅱ）（i）設
是曲線上的任意兩點，要證明有伴隨切線，只需證明存在點
使得
，且點不在上。
即證存在
，使得
即
成立，且點不在上
以下證明方程
在
內有解。
記
則
令
在
內是減函數，
取
則
，即
同理可證
函數
在（
）內有零點
即方程在內有解
又對于函數
取
，則
，
可知
即點不在上。
又
是增函數，
的零點是唯一的，
即方程在內有唯一解
綜上，曲線上的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的
（ii）取曲線
，則曲線
的任意一條弦均有
伴隨切線。
證明如下：
設
是曲線上任意兩點
，
則
即曲線
的任意一條弦均有伴隨切線
注：只要考生給出一條滿足條件的曲線，并給出正確證明，均給滿分，若只給
曲線，沒有給出正確的證明，不給分。
解法二：
（I）同解法一。
（Ⅱ）（i）設是曲線上的任意兩點，要證明 有伴隨切線，只需證明存在點
，，使得
且點不在上
即證存在，使得
即
成立，且點不在上
以下證明方程
在內有解
設
則
記
在
內是增函數，
同理
方程在內有解
又對于函數
可知
即點不在上。
又
在內是增函數。
方程在內有唯一解
綜上，曲線上的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的
（ii）同解法一。
21．（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
本小題主要考查矩陣與變換、矩陣的特征值與特征向量等基礎知識，考查運算求解能力，滿分7分
解：由
，得
矩陣的特征多項式為
令
，得矩陣的特征值
對于特征值
，解相應的線性方程組
得一個非零解
因此，
=
是矩陣的屬于特征值
的一個特征向量
注：寫出的特征向量只要滿足
，
即可
（2）（本小題滿分7分）選修4-4；坐標系與參數方程
本小題主要考查圓的參數方程、直線于圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力滿分7分
解法一：
將圓的參數方程化為普通方程，得
直線的方程為
即
圓心到直線的距離
所以
解法二：
直線的參數方程為
即
（
為參數）
將圓的參數方程化為普通方程，得
將直線的參數方程代入圓的普通方程得
，即
兩點間的距離為
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
本小題主要考查絕對值不等式等基礎知識，考查運算求解能力，滿分7分
解：當
時，原不等式可化為
，解得
或
當
時，原不等式可化為
，解得
或
當
時，原不等式可化為
，解得
綜上所述，原不等式的解集為
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