2009年湖南省寧鄉一中高三4月份模擬考試試題
理科數學
命題責任人：吳敏 朱修龍 校對責任人：楊海燕
說明：①本次考試共3大題，分客觀題和主觀題，共150分，考試時間為120分鐘；
②請考生將所有答案填寫在答題卡規定位置，答在本卷本上的答案一律無效。
一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 已知集合
，則
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 不等式
的解集是（ ）
A. 
B. 
C.
D. 
3. 直線
與圓
相切，則
的值為（ ）
A. 
B.
C.
D.
4. 若
與
都是非零向量，則“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 不充分也不必要條件
5. 函數
的單調減區間是（ ）
A. B. 
C.
D. 
6. 若函數
滿足
，且
時，
，則函數
的圖像與函數
的圖像的交點的個數為（ ）
A. 
B.
C.
D.
7. 方程
在
內有解，則
的取值范圍是（ ）
A.
B. 
C.
D. 
8. 已知正四面體A-BCD中，動點P在
內，且點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等，則動點P的軌跡為（ ）
A. 橢圓的一部分 B. 雙曲線的一部分 C. 拋物線的一部分 D. 一條線段
二、填空題：（本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填寫在答題卡相應位置）
9. 已知復數
,則化簡復數
=
.
10. 設函數的反函數為
，且
的圖像過點（
，1），則的圖像必過定點的坐標是
.
11. 由圓
與平面區域
所圍成的圖形（包括邊界）的面積為 .
12. 為了了解高三學生的身體狀況．抽取了部分男生的體重，將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1┱2┱3，第2小組的頻數為12，則抽取的男生人數是 ．
13. 已知球O的半徑為1，A、B、C三點都在球面上，A、B兩點間的球面距離為
，B、C與A、C間的球面距離均為
，則球心O到平面ABC的距離為
.
14. 有五種不同顏色供選擇，把右圖中五塊區域涂色，同一區域同一顏色，相鄰區域不同顏色，共有
種不同的涂法.（結果用數值表示）
15. 七月過后，糧食豐收了。農民劉某家的原有糧倉顯得太小了，他決定在屋內墻角（如圖，墻角∠A = 60°）搭建一個急用糧倉。現有一塊矩形木板BCDE，劉某在想，木板應該怎樣放置才能使糧倉裝糧最多？（假定糧倉頂面DEF水平并另用木板蓋上）。
（1）若矩形木板邊長分別為
（2）若矩形木板周長為
三、解答題：（本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.
16. （本小題滿分12分）甲、乙兩人按如下規則進行射擊比賽，雙方對同一目標輪流射擊，若一方未擊中，另一方可繼續射擊，甲先射，直到有人命中目標或兩人總射擊次數達4次為止. 若甲擊中目標的概率為
，乙擊中目標的概率為.
求：（1）甲在他第二次射擊時勝出的概率；
（2）比賽停止時，甲、乙兩人射擊總次數
的分布列和期望。
17. （本小題滿分12分）設的內角A、B、C所對的邊分別為
，且
.
（1）求角
的大小；
（2）若
，求的周長
的取值范圍.
18. （本小題滿分12分）
如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，又CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
（1）求證：AO
平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；
（3）求點E到平面ACD的距離．
19. （本小題滿分13分）
某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進行開發建設,陰影部分為一公共設施建設不能開發,且要求用欄柵隔開(欄柵要求在一直線上),公共設施邊界為曲線
的一部分,欄柵與矩形區域的邊界交于點M、N，交曲線于點P，設
（1）將
（O為坐標原點）的面積
表示成
的函數
；
（2）若在
處，取得最小值，求此時
的值及的最小值.
20. （本小題滿分13分）
已知方向向量為
的直線
過橢圓
的焦點以及點
，橢圓
的中心關于直線的對稱點在橢圓的右準線上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左焦點
作一條與兩坐標軸都不垂直的直線
，交橢圓于P、Q兩點，若點M在
軸上，且使
為
的一條角平分線，則稱點M為橢圓的“左特征點”，求橢圓的左特征點M的坐標.
21. （本小題滿分13分）
已知數列
滿足：
，且
（1）設
，證明數列
是等差數列；
（2）求數列、的通項公式；
（3）設
，
為數列
的前
項和，證明
.
2009屆高三4月份模擬考試試題答案
理科數學
題 號
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
C
A
B
C
B
C
C
A
二、填空題（每小題5分，共35分）
（2）的可能取值為1、2、3、4
表示甲第一次就擊中目標
表示甲第一次未擊中，乙第一次擊中目標
表示甲、乙前一次都未擊中，甲第二次擊中目標
表示前三次射擊未中 
…………………………..8分
的分布列為
1
2
3
4
P
…………..10分
…………….……..12分
17、（本小題滿分12分）
解：（1）方法一：在中，有
由正弦定理得：
又
，即
，
又為的內角，
…………………………..5分
方法二：由得
即：
（2）由正弦定理得：
………………..7分
…………………………..10分
于是
故的周長的取值范圍為
。
…………………………..12分
18、(本小題滿分12分)
解：方法一：（1）證明：連結OC．
BO=DO，AB=AD，AOBD．
BO=DO，BC=CD，COBD．
在
AOC中，由已知可得AO=1，CO=
，
而AC=2，
，
AOC=90°，即AOOC．
，AO平面BCD．
…………………………..4分
（2）取AC的中點M，連結OM、ME、OE，
由E為BC的中點知ME//AB，OE//DC．
直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．
在OME 中,EM= AB=
，OE=DC=1，
OM是直角△AOC斜邊Ac上的中線，OM=AC=1，
,異面直線AB與CD所成角的大小為
．
…………………………..8分
（3）設點E到平面ACD的距離為h．
在ACD中，CA=CD=2，AD=，
而
, 
點E到平面ACD的距離為
． ……………..…..12分
方法二：（1）同方法一．
（2）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（一1，0，0），C（0，,0），（0,0,l）,E（
），
=（一1，0，1），
（一1，一，0）．
， 異面直線AB與CD所成角的大小為arccos
．
（3）解：設平面ACD的法向量為
，
則
，
令y=I，得
是平面ACD的一個法向量．
又
點E到平面ACD的距離
19、（本小題滿分13分）
解：（1）
，切線的斜率為
，切線的方程為
令
得
…………………..3分
,令
,得
的面積
…………………..6分
(2) 
…………………..8分
,由
,得
當
時, 
當
時, 
…………………..11分
已知在處, 
,故有
故當
時,
…………………..13分
20、（本小題滿分13分）
解、（1）直線的方程為
①
…………………..2分
過原點垂直于的直線方程為
②
解①②得
橢圓中心O（0，0）關于直線的對稱點在橢圓的右準線上，
…………………..4分
直線過橢圓的焦點，該焦點的坐標為
從而
故橢圓C的方程為
…………………..6分
（2）設左特征點的坐標為
，左焦點為
，可設直線PQ的方程為
由與,消去得
又設
,則
③
…………………..8分
因為
為
的角平分線,所以
,
即:
…………………..10分
將
與
代入上式化簡,得
④
將③代入④中,得
,得
即左特征點為
…………………..13分
21、（本小題滿分13分）
解：(1) 
,
為等差數列
…………………..3分
(2)由(1)
,從而
………………….6分
(3)
,
當
時,
,不等式的左邊=7,不等式成立
當
時,
故只要證
,
………………….8分
如下用數學歸納法給予證明:
①當
時,
,
時,不等式成立;
②假設當
時,
成立
當
時, 
只需證: 
,即證: 
………………….10分
令
,則不等式可化為:
即
令
,則
在
上是減函數
又
在
上連續, 
,故
當
時,有
當時,所證不等式對的一切自然數均成立
綜上所述,
成立.
………………….13分
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