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★★★高考將考什么

【范例1】如圖，在四棱錐中，底面，，，是的中點．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）證明平面；

（Ⅲ）求二面角的大�。�

（Ⅰ）證明：在四棱錐中，

因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

（Ⅱ）證明：由，，可得．

是的中點，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面內的射影是，，．

又，綜上得平面．

（Ⅲ）解法一：過點作，垂足為，連結．則（Ⅱ）知，平面，在平面內的射影是，則．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．設，

可得．

在中，，，

則．

在中，．

解法二：由題設底面，平面，則平面平面，交線為．

過點作，垂足為，故平面．過點作，垂足為，連結，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，設，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的大小是．

所以二面角的大小是．

變式：如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，棱．

（1）證明//平面；

（2）設，證明平面．

證明：（Ⅰ）取CD中點M，連結OM.

在矩形ABCD中，，又，則，

連結EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形.

又平面CDE， EM平面CDE，   ∴ FO∥平面CDE

（Ⅱ）證明：連結FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中，

且.

因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM而FM∩CD=M，

∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF.

【點晴】本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，注意線面平行和線面垂直判定定理的使用，考查空間想象能力和推理論證能力。

【范例2】如圖，在六面體中，四邊形是邊

長為2的正方形，四邊形是邊長為1的正方形，

平面，平面，．

（Ⅰ）求證：與共面，與共面．

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函數值表示）．

證明：以為原點，以所在直線分別為軸，

軸，軸建立空間直角坐標系如圖，

則有．

（Ⅰ）證明：

．

．

與平行，與平行，

于是與共面，與共面．

（Ⅱ）證明：，

，

，．

與是平面內的兩條相交直線．

平面．

又平面過．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

設為平面的法向量，

，．

于是，取，則，．

設為平面的法向量，

，．

于是，取，則，．

．

二面角的大小為．

解法2（綜合法）：

（Ⅰ）證明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

設分別為的中點，連結，

有．

，

于是．

由，得，

故，與共面．

過點作平面于點，

則，連結，

于是，，．

，．

，．

所以點在上，故與共面．

（Ⅱ）證明：平面，，

又（正方形的對角線互相垂直），

與是平面內的兩條相交直線，

平面．

又平面過，平面平面．

（Ⅲ）解：直線是直線在平面上的射影，，

根據三垂線定理，有．

過點在平面內作于，連結，

則平面，

于是，

所以，是二面角的一個平面角．

根據勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小為．

變式（07江蘇）如圖，已知是棱長為的正方體，

點在上，點在上，且．

（1）求證：四點共面；（4分）

（2）若點在上，，點在上，

，垂足為，求證：平面；（4分）

（3）用表示截面和側面所成的銳二面角的大小，求．

證明：（1）建立如圖所示的坐標系，則，，，

所以，故，，共面．

又它們有公共點，所以四點共面．

（2）如圖，設，則，

而，由題設得，

得．

因為，，有，又，，所以，，從而，．

故平面．

（3）設向量截面，于是，．

而，，得，，解得，，所以．

又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）．

于是．

故．

【范例3】如圖，在長方體AC₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動.

（1）證明：D₁E⊥A₁D；

（2）當E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；

（3）AE等于何值時，二面角D₁―EC―D的大小為.

解析：法1

（1）∵AE⊥面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）設點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

     ∴∠DHD₁為二面角D₁―EC―D的平面角.

設AE=x，則BE=2－x

法2：以D為坐標原點，直線DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x，則A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).

（1）

（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），

從而，，

設平面ACD₁的法向量為，

則也即，得，

從而，所以點E到平面AD₁C的距離為

（3）設平面D₁EC的法向量，

∴

由  令b=1,  ∴c=2, a=2－x，

∴依題意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=時，二面角D₁―EC―D的大小為.

變式：如圖，四棱錐P―ABCD中，底面ABCD 為矩形，AB=8，AD=4，側面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°.

（Ⅰ）求四棱錐P―ABCD的體積；

（Ⅱ）證明PA⊥BD.

 解析：（Ⅰ）如圖，取AD的中點E，

連結PE，則PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD，垂足為O，連結OE.

根據三垂線定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO為側面PAD與底面所成的二面角

的平面角，由已知條件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3，

四棱錐P―ABCD的體積V_P―ABCD=

（Ⅱ）法1  如圖，以O為原點建立空間直角坐標系.通過計算可得P(0，0，3)，

A(2，－3，0)，B(2，5，0)，D(－2，－3，0)

所以

因為 所以PA⊥BD.

法2：連結AO，延長AO交BD于點F.通過計算

可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，

得所以Rt△AEO∽Rt△BAD.得∠EAO=∠ABD.  

所以∠EAO+∠ADF=90°   所以  AF⊥BD.

因為  直線AF為直線PA在平面ABCD 內的身影，所以PA⊥BD.

【點晴】本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析問題能力，解題的關鍵是二面角的使用。使用空間向量能降低對空間想象能力的要求，但坐標系的位置不規則，注意點坐標的表示。