2009屆全國100所名校最新高考模擬示范卷（數學理卷四）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1. 設
為虛數單位，復數
的共軛復數
等于（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2
定義集合運算
，設
，
，則集合
中所有元素之和為（ ）
3. 在
內，使
成立的
的取值范圍是（ ）
4. 設
是
內任一點，且
，
，
、
、
的面積分別為、
、
，且
，則在平面直角坐標系中，以
為坐標的點
的軌跡圖形是（ ）
5. 設
且
，若函數
在
處連續，則
等于（ ）
6. 已知
，
是大于
的正整數，記
，則有（ ）
與
的大小關系無法確定
7. 在如圖的正三棱錐
中，、
分別為
、
的中
點，且平面
平面
，則二面角
的平面角
的余弦值為（ ）
8. 在、
、
、
、
、
、
的任一排列
，
，
，
，
，
，
中，使相鄰兩數都互質的排列方式共有（ ）
種
種
種
種
9. 已知圓
的方程為
，
是圓上的一個動點，若
的垂直平分線總是被平面區域
覆蓋，則實數的取值范圍是（ ）
10. 已知
，則函數
的最小值為（ ）
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11. 已知函數
的圖象與函數
的圖象關于直線
對稱，則的是義域為_____________.
12. 已知拋物線
（）的準線
與軸交于點，若繞點以每秒
弧度按逆時針方向旋轉
秒鐘后，恰與拋物線第一次相切，則
_____________.
13. 已知
是的重心，
，
，則
的最小值為_______，取最小值時，
_____________.
14. 已知等比數列
中，對所有的正整數，都有其前項和
，請寫出滿足此條件的一個等比數列的通項公式：_____________.
15. 若一個棱長為
的正四面體紙盒內放一個正方體，并且能使正方體在紙盒內任意轉動，則正方體的棱長最大為_____________.
試題答題卡
題 號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
11.
；
12.； 13．
， 
；
14.
（公比為的任一等比數列）；
15
．
三、解答題（本大題共6小題，共75分）
16．（本小題滿分12分）
若
，
，
，在函數
的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為
，且當
時，
的最大值為.
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）若
，
，求實數的值。
【解】（Ⅰ）
………4′
∵的圖象對稱中心到對稱軸的最小距離為，∴的周期為
，得
.
.………6′
又時，
，∴
，∴
.
∵
，∴
，
，∴
.………8′
（Ⅱ）由得：
，∵，∴
.
由單位圓的正弦線知：
或
，
或
………12′
17．（本小題滿分12分）
移動公司進行促銷活動，促銷方案為顧客消費
元，便可獲得獎券一張，每張獎券中獎的概率為
，中獎后移動公司返還顧客現金元。小李購買一部價格為
元的手機，只能荻得兩張獎券，于是小李補償
元給同事購
元的小靈通（可以得到三張獎券），記小李抽獎后實際支出為
元。
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）試說明小李出資元增加一張獎券是否劃算。
【解】（Ⅰ）的所有取值為
、
、
、
.
；
；
；
.
∴的分布列為
………6′
（Ⅱ）
.（元）
設小李不出資元增加一張獎券消費的實際支出為
元。
則
；
；
.
∴
（元）
故小李出資元增加一張獎券劃算。………12′
18．（本小題滿分12分）
已知正四面體
的邊
、
、
、
的中點分別為
、
、、
.
（Ⅰ）求證：四邊形
為正方形；
（Ⅱ）求直線
與平面所成的角。
【法一】（Ⅰ）由己知可得
，且
，
∴四邊形為平行四邊形。
又
，∴為棱形。
取
的中點，連結
、
，
易證
，
，∴
平面
，
∴
，∴
，∴四邊形為正方形。………6′
（Ⅱ）設正四面體的棱長為，
，
.
由（Ⅰ）知面
面，即面
面.
設
的中點為
，連
交
于
點，∴
面.
在
，
，則
，
而
面，∴點平面的距離等于.
設直線與平面所成的角為
.
則
.
∴直線與平面所成的角為
.………12′
【法二】
∴直線與平面所成的角為.………12′
19．（本小題滿分13分）
甲、乙兩家電公司，2000年的市場占有率均為.根據市場分析和預測，甲公司從2000年（第1年）起市場占有率
與的關系呈拋物線，如圖一；乙公司自2000年起逐年的市場占有率都有所增加，其規律如圖二。
（Ⅰ）根據兩圖信息，求出兩公司第年市場占有率、
的表達式；
（Ⅱ）根據甲、乙兩公司所在地的市場規律，如果某公司市場占有率不足另一公司市場占有率的
，則該公司被另一公司兼并。經計算，2019年之前不會出現兼并局面，試問2019年是否會出現兼并局面，并說明理由。
【解】（Ⅰ）設
則
，解得：
，∴
.
又
，
，
，…，
.
這個式子兩邊相加得：
………7′
（Ⅱ）
年，即經過
年，由（Ⅰ）可得
，
.
∴
. ∴2019年會出現兼并局面。………13′
20．（本小題滿分12分）
已知函數
，
為自然對數的底數。
（Ⅰ）證明：當
時，對任意正整數，不等式
成立；
（Ⅱ）證明：當
時，對正整數，不等式
成立；
（Ⅲ）若
，研究
的值及的增減性，并求的極值。
【證】（Ⅰ）下面用數學歸納法證明
，不等式成立。
21．（本小題滿分14分）
已知
、
分別是橢圓
（
）的左、右焦點，其左準線與軸相交于點，并且滿足
，
. 設、是上半部分橢圓上滿足
的兩點，其中
.
（Ⅰ）求此橢圓的方程及直線的斜率的取值范圍；
（Ⅱ）過、兩點分別作此橢圓的切線，兩切線相交于一點，求證：點在一條定直線上，并求點的縱坐標的取值范圍。
【解】（Ⅰ）由于，，∴
，解得：
.
從而所求橢圓的方程是
………2′
又由（Ⅰ）知
，∴
.
因此點在定直線
上，并且點的縱坐標的取值范圍是
.………14′
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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